知识点1、集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的
知识点2、解集合问题的关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用*面直角坐标系中的图形表示相关的集合等
反比例函数
形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。
当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右*移一个单位。（加一个数时向左*移，减一个数时向右*移）
1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
（0，0）
x=0
y=a（x—h）^2
（h，0）
x=h
y=a（x—h）^2+k
（h，k）
x=h
y=ax^2+bx+c
（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）
x=—b/2a
当h>0时，y=a（x—h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左*行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h<0，k>0时，将抛物线向左*行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h<0，k<0时，将抛物线向左*行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大**置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）。
3、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤—b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥—b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤—b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥—b/2a时，y随x的增大而减小。
4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b^2—4ac>0，图象与x轴交于两点A（x？，0）和B（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根。这两点间的距离AB=|x？—x？|
当△=0。图象与x轴只有一个交点；
当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），则当x=—b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c（a≠0）。
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x？）（x—x？）（a≠0）。
7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。
对数函数
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的`值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数。
指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
【函数的应用】
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1(代数法)求方程的实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数.
1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
（0，0）
x=0
y=a（x—h）^2
（h，0）
x=h
y=a（x—h）^2+k
（h，k）
x=h
y=ax^2+bx+c
（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）
x=—b/2a
当h>0时，y=a（x—h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左*行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h<0，k>0时，将抛物线向左*行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
当h<0，k<0时，将抛物线向左*行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大**置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）。
3、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤—b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥—b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤—b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥—b/2a时，y随x的增大而减小。
4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b^2—4ac>0，图象与x轴交于两点A（x？，0）和B（x？，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根。这两点间的距离AB=|x？—x？|
当△=0。图象与x轴只有一个交点；
当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），则当x=—b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c（a≠0）。
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。
（3）当题给条件为已知图象与x轴的.两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x？）（x—x？）（a≠0）。
7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。
——高一数学必修一知识点总结归纳范文10份
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在*面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的.顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
【函数的应用】
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1(代数法)求方程的`实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数.
1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在*面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的.交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。此时，的次方根用符号表示。式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）。
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号—表示。正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）。由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时，
2、分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
3、实数指数幂的运算性质
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R。
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。
2、指数函数的图象和性质
*面向量
向量：既有大小，又有方向的量.
数量：只有大小，没有方向的量.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
零向量：长度为的向量.
单位向量：长度等于个单位的向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作*行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的*行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。
设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
集合间的基本关系
1.子集，A包含于B，记为：，有两种可能
(1)A是B的一部分，
(2)A与B是同一集合，A=B，A、B两集合中元素都相同。
反之:集合A不包含于集合B,记作。
如：集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,3,4}，三个集合的关系可以表示为，，B=C。A是C的子集，同时A也是C的真子集。
2.真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ。Φ是任何集合的子集。
4、有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-2个非空真子集。如A={1,2,3,4,5}，则集合A有25=32个子集，25-1=31个真子集，25-2=30个非空真子集。
例：集合共有个子集。(13年高考第4题，简单)
练*：A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，请问A集合有多少个子集，并写出子集，B集合有多少个非空真子集，并将其写出来。
解析：
集合A有3个元素，所以有23=8个子集。分别为：①不含任何元素的子集Φ;②含有1个元素的子集{1}{2}{3};③含有两个元素的子集{1,2}{1,3}{2,3};④含有三个元素的子集{1,2,3}。
集合B有4个元素，所以有24-2=14个非空真子集。具体的子集自己写出来。
此处这么罗嗦主要是为了让同学们注意写的顺序，数学就是要讲究严谨性和逻辑性的。一定要养成自己的逻辑*惯。如果就是为了提高计算能力倒不如直接去菜场卖菜算了，绝对能飞速提高的，那学数学也没什么必要了。
*面向量
向量：既有大小，又有方向的量.
数量：只有大小，没有方向的量.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
零向量：长度为的向量.
单位向量：长度等于个单位的向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作*行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的*行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。
设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的`数量积为0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员}，{太*洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:X
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 :N*或 N+
整数集: Z
有理数集: Q
实数集: R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系-子集
注意:
有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数:
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型 交集 并集 补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
二、函数的有关概念
1.函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:
在*面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2)画法
描点法: 图象变换法:常用变换方法有三种:1)*移变换2)伸缩变换3)对称变换。
2.区间的概念：
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示。
3.映射：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”对于映射f:A→B来说，则应满足:
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
4.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 （一）指数与指数幂的运算 1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈ 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。此时，的次方根用符号表示。式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）。 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号―表示。正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）。由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 注意：当是奇数时，当是偶数时， 2、分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。 3、实数指数幂的运算性质 （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R。 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。 2、指数函数的图象和性质 一：函数模型及其应用 本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。 1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。 2、用函数解应用题的基本步骤是： （1）阅读并且理解题意。（关键是数据、字母的实际意义）； （2）设量建模； （3）求解函数模型； （4）简要回答实际问题。 常见考法： 本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。 误区提醒： 1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。 2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。 【典型例题】 例1： （1）某种储蓄的月利率是0。36%，今存入本金100元，求本金与利息的和（即本息和）y（元）与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和（不计复利）。 （2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的`函数式。如果存入本金1000元，每期利率2。25%，试计算5期后的本利和是多少？解：（1）利息=本金×月利率×月数。y=100+100×0。36%·x=100+0。36x，当x=5时，y=101。8，∴5个月后的本息和为101。8元。 例2： 某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术*方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。 （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得利润，其利润约为多少万元。（精确到1万元）。 ——高一数学必修五知识点归纳汇总5篇 1.等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d n=1时a1=S1 n≥2时an=Sn-Sn-1 an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。 有关系：A=(a+b)÷2 3.前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]① Sn=an+an-1+an-2+······+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2 Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n an=2sn÷n-a1 有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 4.等差数列性质 一、任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的`定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N 三、若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq 四、对任意的k∈N，有 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。 ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。 ⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}（k、b为非零常数）也是等差数列。 ⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+（n—m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。 ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…。 ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。 ⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{a}中，a—a=a—a=md。（其中m、k、） ⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项。 ⑼当公差d>0时，等差数列中的.数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。 ⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠—1），则a=。 ⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）。 ⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S—S=nd，=；当项数为（2n—1）（n）时，S—S=a，=。 ⑶若数列{a}为等差数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等差数列，公差为。 ⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T（n为奇数），则=。 ⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b（n>m），则S=（a—b）。 ⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+（a—）上。 ⑺记等差数列{a}的前n项和为S。①若a>0，公差d<0，则当a≥0且a≤0时，S；②若a<0，公差d>0，则当a≤0且a≥0时，S最小。 ⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S= 也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处。因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论。 ⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=。 ⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S+qS。⑵ ⑷若数列{a}为等比数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等比数列。 ⑸若项数为3n的等比数列（q≠—1）前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列 万能公式：sin2α=2tanα/（1+tan^2α）（注：tan^2α是指tan*方α） cos2α=（1—tan^2α）/（1+tan^2α）tan2α=2tanα/（1—tan^2α） 升幂公式：1+cosα=2cos^2（α/2）1—cosα=2sin^2（α/2）1±sinα=（sin（α/2）±cos（α/2））^2 降幂公式：cos^2α=（1+cos2α）/2sin^2α=（1—cos2α）/21）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα，其中k∈Z； （2）sin（—α）=—sinα，cos（—α）=cosα，tan（—α）=—tanα，cot（—α）=—cotα （3）sin（π+α）=—sinα，cos（π+α）=—cosα，tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotα （4）sin（π—α）=sinα，cos（π—α）=—cosα，tan（π—α）=—tanα，cot（π—α）=—cotα （5）sin（π/2—α）=cosα，cos（π/2—α）=sinα，tan（π/2—α）=cotα，cot（π/2—α）=tanα （6）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=—sinα， tan（π/2+α）=—cotα，cot（π/2+α）=—tanα （7）sin（3π/2+α）=—cosα，cos（3π/2+α）=sinα， tan（3π/2+α）=—cotα，cot（3π/2+α）=—tanα （8）sin（3π/2—α）=—cosα，cos（3π/2—α）=—sinα， tan（3π/2—α）=cotα，cot（3π/2—α）=tanα（k·π/2±α），其中k∈Z 注意：为方便做题，*惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角； 当k是奇数的时候，等式右边的.三角函数发生变化，如sin变成cos。偶数则不变； 用角（k·π/2±α）所在的象限确定等式右边三角函数的正负。例：tan（3π/2+α）=—cotα ∵在这个式子中k=3，是奇数，因此等式右边应变为cot 又，∵角（3π/2+α）在第四象限，tan在第四象限为负值，因此为使等式成立，等式右边应为—cotα。三角函数在各象限中的正负分布 sin：第一第二象限中为正；第三第四象限中为负cos：第一第四象限中为正；第二第三象限中为负cot、tan：第一第三象限中为正；第二第四象限中为负。 ⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S= 也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处。因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论。 ⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=。 ⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S+qS。⑵ ⑷若数列{a}为等比数列，则S，S―S，S―S，…仍然成等比数列。 ⑸若项数为3n的等比数列（q≠―1）前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列 万能公式：sin2α=2tanα/（1+tan^2α）（注：tan^2α是指tan*方α） cos2α=（1―tan^2α）/（1+tan^2α）tan2α=2tanα/（1―tan^2α） 升幂公式：1+cosα=2cos^2（α/2）1―cosα=2sin^2（α/2）1±sinα=（sin（α/2）±cos（α/2））^2 降幂公式：cos^2α=（1+cos2α）/2sin^2α=（1―cos2α）/21）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα，其中k∈Z； （2）sin（―α）=―sinα，cos（―α）=cosα，tan（―α）=―tanα，cot（―α）=―cotα （3）sin（π+α）=―sinα，cos（π+α）=―cosα，tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotα （4）sin（π―α）=sinα，cos（π―α）=―cosα，tan（π―α）=―tanα，cot（π―α）=―cotα （5）sin（π/2―α）=cosα，cos（π/2―α）=sinα，tan（π/2―α）=cotα，cot（π/2―α）=tanα （6）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=―sinα， tan（π/2+α）=―cotα，cot（π/2+α）=―tanα （7）sin（3π/2+α）=―cosα，cos（3π/2+α）=sinα， tan（3π/2+α）=―cotα，cot（3π/2+α）=―tanα （8）sin（3π/2―α）=―cosα，cos（3π/2―α）=―sinα， tan（3π/2―α）=cotα，cot（3π/2―α）=tanα（k・π/2±α），其中k∈Z 注意：为方便做题，*惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角； 当k是奇数的时候，等式右边的三角函数发生变化，如sin变成cos。偶数则不变； 用角（k・π/2±α）所在的象限确定等式右边三角函数的正负。例：tan（3π/2+α）=―cotα ∵在这个式子中k=3，是奇数，因此等式右边应变为cot 又，∵角（3π/2+α）在第四象限，tan在第四象限为负值，因此为使等式成立，等式右边应为―cotα。三角函数在各象限中的正负分布 sin：第一第二象限中为正；第三第四象限中为负cos：第一第四象限中为正；第二第三象限中为负cot、tan：第一第三象限中为正；第二第四象限中为负。 ——数学必修一知识点6篇 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种： (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1，真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数，式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数，记作y=loga a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx，反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函数0≤y≤π)，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题)，争取限定一个时间完成;也可以找1道大题，限时完成。这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态，正确对待考试。 首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下： (1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域. (2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元. (3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值. 一.知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与*面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N_ .子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 注意：①?A，若A≠?，则?A; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二.例题讲解： 【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合M：{x|x=,m∈Z};对于集合N：{x|x=,n∈Z} 对于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。 分析二：简单列举集合中的元素。 解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 =∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN， =P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合，，则(B) A.M=NB.MNC.NMD. 解： 当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B 【例2】定义集合A_={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A_的子集个数为 A)1B)2C)3D)4 分析：确定集合A_子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。 解答：∵A_={x|x∈A且xB}，∴A_={1,7}，有两个元素，故A_的子集共有22个。选D。 变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为 A)5个B)6个C)7个D)8个 变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A. 解：由已知，集合中必须含有元素a,b. 集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个. 【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。 解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3. ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A ∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1， ∴∴ 变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值. 解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5 ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴ 又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1 分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。 解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。 综合以上各式有B={x|-1≤x≤5} 变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0) 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。 解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM ①当时，ax-1=0无解，∴a=0② 综①②得：所求集合为{-1，0，} 【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。 解答：(1)若，在内有有解 令当时， 所以a>-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 【同步练*题】 一、选择题(每题4分，共40分) 1、下列四组对象，能构成集合的是() A某班所有高个子的学生B的艺术家 C一切很大的书D倒数等于它自身的实数 2、集合{a，b，c}的真子集共有个() A7B8C9D10 3、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是() A.6B.7C.8D.9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU(M∪N)=() A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4} 5、方程组的解集是() A.{x=0,y=1}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：，，,,，是空集中，错误的个数是() A4B3C2D1 7、点的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指() A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集 C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是() ABCD 9、满足条件M=的集合M的个数是() A1B2C3D4 10、集合，，，且，则有() AB CD不属于P、Q、R中的任意一个 二、填空题(每题3分，共18分) 11、若，，用列举法表示B 12、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若BA，则a=__________ 13、设全集U=，A=，CA=，则=，=。 14、集合，，____________. 15、已知集合A={x|},若A∩R=，则实数m的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人. 三、解答题(每题10分，共40分) 17、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值 18、已知二次函数()=,A=,试求的解析式 19、已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。 20、设，集合，，且A=B，求实数x，y的值。 数学必修一第一章学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 数学必修一第一章学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作，做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误，只要有一个人犯了错误，就应该提出，以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病，全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间，除了一小部分那几种典型错，其它错误，不能一一顾及。只能谁有病，谁吃药 。如果学生“生病”而忘了吃药，那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处“地雷”，迟早要惹祸。 有的学生认为，自己考试成绩上不去，是因为太粗心。其实，原因并非如此。打一个比方。比如说，学*开汽车。右脚下面，往左踩，是踩刹车。往右踩，是踩油门。其机械原理，设计原因，操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套，请问，可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务，但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够，才是学生出错的真正原因。大家一定要看到，如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷，那么，今后的数学将是难以学好的。 1. 函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2. 复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; (3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; ——高一政治必修一知识点总结 (菁华6篇) 第一课：生活在人民当家作主的国家 ★★（一）我国的国家性质——人民民主*的社会主义国家 ★1.人民民主*的特点：对占全国人口绝大多数的人民实行民主，对极少数敌视和破坏社会主义事业的敌人实行*。 ★2.人民民主*的本质：人民当家作主。 ★3.人民民主的特点： （1）人民民主的广泛性：人民享有广泛的民*利；民主主体的广泛性。 (2)人民民主的真实性：人民当家作主的权利有制度、法律和物质的保障；随着经济的发展和社会的进步，广大人民的利益得到日益充分的实现。 4.为什么要坚持人民民主* （1）四项基本原则是立国之本，是我国国家生存发展的政治基石。坚持人民民主*作为四项基本原则之一，已被写入我国宪法。 ★（2）坚持人民民主*是社会主义现代化建设的政治保证。 ①只有充分发扬社会主义民主，确保人民当家作主的地位，保证人民依法享有广泛的权利和自由，尊重和保障人权，才能调动亿万人民群众投身于社会主义现代化建设的积极性。 ②只有坚持国家的*职能，打击一切破坏社会主义建设的敌对势力和敌对分子，才能保障人民民主，维护国家长治久安。 5.怎样坚持人民民主*？（略P7） 6．我国*关于人权问题的观点：（1）生存权、发展权是根本和重要的人权。（2）保护和促进人权，必须从保障人民的生存权、发展权这个环节入手；（3）实现人权的根本途径是促进经济发展和社会进步；（4）国家*是一国人民充分享受人权的前提和保障。 ★★（二）公民的政治权利与义务 1．我国公民的政治权利和自由：选举权和被选举权；政治自由；监督权。 2.我国公民必须履行的政治性义务：维护国家统一和民族团结。遵守宪法和法律。维护*、荣誉和利益。服兵役和参加民兵组织。 ★★3.我国公民参与政治生活的基本原则：1）坚持公民在法律面前一律*等原则；2）坚持权利与义务统一的原则；3）坚持个人利益与国家利益相结合的原则。 4．坚持公民在法律面前一律*等原则。 公民*等的享受权利，*等的履行义务，*等的适用法律。 ①任何公民都*等的享有宪法、法律规定的权利，同时必须*等的履行宪法、法律规定的义务。②任何公民的合法权利都受到保护。 ③任何公民的违法犯罪行为都要受到法律的制裁。 ★5．坚持权利与义务统一的原则。 （1）是什么？ 在我国公民的权利和义务是统一的，二者不可分离。 权力和义务在法律关系上是相对应而存在的，权利和义务都是实现人民利益的手段和途径公民在法律上既是权利的主体，又是义务的主体，权力的实现需要义务的履行；义务的履行确保权利的实现。 （2）怎样坚持？ ①要树立权利意识，珍惜公民权利。既要依法行使自己的权利，又要尊重他人的权利。②要树立义务意识，自觉履行公民义务。 ★6．坚持个人利益与国家利益相结合的原则 ⑴为什么？ 在我国，国家与公民个人的利益在根本上一致的。 ⑵怎样坚持？ 国家尊重和保障公民个人的合法权益。公民在行使权利与履行义务时，要把国家利益与个人利益结合起来。当个人利益与国家利益产生矛盾时，个人利益要服从国家利益，是公民爱国的表现。 ★★第二课：我国公民的政治参与 （一）民主选举 1．四种选举方式比较 2．影响选举方式、选举制度的因素 3．我国的选举制度及其影响因素 4．公民应珍惜自己的选举权 ⑴为什么选民要珍惜自己的选举权利？ ①选民参与民主选举的素养，即参加选举的态度和能力，是影响选举效果的重要因素。 ②是否积极参加选举、认真行使这一权利，是衡量公民参与感、责任感的重要尺度。 ③怎样行使选举权，如何投出自己神圣的一票，是公民政治参与能力的体现，也是表明公民政治素养高低的重要标志。 ⑵选民应怎样行使选举权？ ①要不断提高自己参与民主选举的素养，端正参加选举的态度，出于公心，以人民利益为重，选出切实能代表人民利益的人。 ②要增强主人翁责任感和公民参与意识，积极参加选举，认真行使自己的选举权。 ③要不断提高政治参与能力，在周全考虑、理性判断基础上，郑重投出自己的一票 ★★（二）民主决策 1、公民直接参与民主决策的方式：（1）通过社情民意反映制度参与民主决策。（2）通过专家咨询制度参与民主决策。（3）通过重大事项社会公示制度参与民主决策。（4）通过社会听证制度参与民主决策。（注：每种方式的重要性或意义） 2．公民直接参与民主决策的重大意义？ 公民通过各种渠道、采用不同方式直接参与决策过程，是推进决策科学化、民主化的重要环节。有助于决策充分反映民意，体现决策的民主性； 有利于决策广泛集中民智，增强决策的科学性； 有利于促进公民对决策的理解，推动决策的实施； 有利于提高公民参与公共事务的热情和信心，增强公民的社会责任感。 ★★（三）民主管理 1．发展基层民主的重要性 发展基层民主，保障人民享有更多更切实的民*利，是我国发展社会主义民主政治的重要内容。实行村民自治和城市居民自治，以保证人民群众依法直接行使民*利，管理基层公共事务和公益事业，是人民当家作主最有效的途径。 2．基层民主自治的形式：农村村民自治和城市居民自治 3．实行基层民主管理的意义：有利于扩大基层民主，是社会主义民主最为广泛而深刻的实践，必须作为发展社会主义民主政治的基础性工程重点推进。 ★★（四）民主监督 1．公民监督权的内容： 公民的监督权是公民有监督一切国家机关及其工作人员的权利，它包括批评权、建议权、检举权、申诉权和控告权。 2.公民行使监督权的合法渠道：（注：每种渠道的意义） ⑴通过*举报制度行使监督权。 ⑵通过*联系群众制度实行民主监督。 ⑶通过舆论监督制度行使监督权。 ⑷其他方式：监督听证会、民主评议会、网上评议*等。 3.实行民主监督的意义： ①有利于改进国家机关及其工作人员的工作； ②有利于维护国家利益和公民的合法权益； ③有利于激发广大公民关心国家大事，为社会主义现代化建设出谋划策的主人翁精神。 4．公民怎样行使监督权： 公民行使监督权时，坚持权利与义务相统一。一方面，为了国家和人民的利益，敢于同邪恶势力进行斗争，勇于使用宪法和法律赋予自己的监督权。另一方面，必须采取合法形式，坚持实事求是的原则，不能干扰公务活动。 （五）有序的政治参与 1、为什么要有序的参与政治生活？ 2、有序与无序的区别（1）是否遵循法律、法规（2）是否依法行使政治权利，履行政治义务（3）是否正确处理权利和义务。 ★★第三课：我国*是人民的* 1、我国*的性质： 我国*是国家权力机关的执行机关，是国家行政机关。 2、我国*的宗旨与基本原则。 为人民服务是*的宗旨，对人民负责是*工作的基本原则。 坚持为人民服务的工作态度。树立求真务实的工作作风。坚持从群众中来到群众中去的工作方法。 3、我国*的职能 ⑴保障人民民主和维护国家长治久安的职能。 保卫国家的独立与*；保护公民的生命安全及各种合法权益，保护国家、企业和个人的合法财产不受侵犯，保障人民民主，协调人民内部矛盾，打击违法犯罪，维护着社会治安和秩序。 ⑵组织社会主义经济建设的职能。主要是进行经济调节、市场监管、社会管理和公共服务，以促进社会经济发展，提高生产力水*和人民生活水*。 ⑶组织社会主义文化建设的职能。 一方面宣扬科学理论，提高思想道德素质和科学文化素质，；另一方面，*组织和发展教、科、文、卫、体等各项事业，努力提高国家文化软实力。 ⑷提供社会公共服务的职能。 加强公共基础设施、公共文化设施、公共卫生设施等方面的建设；完善市场就业机制，扩大就业规模；建立基本医疗卫生制度，提高全民健康水*；建立健全社会保障体系；控制人口增长，促进优生优育；保护公共环境，防治各种污染等。 4、建设服务型* 我国正在建设服务型*，其根本目的是进一步提高*为经济社会发展服务、为人民服务的能力和水*。 5、公民与*的关系 （1）人们的社会生活受到*的管理，又享受着*提供的公共服务。 （2）我们公民要了解、相信、支持*，寻求*的帮助，监督*的行为，不断提高公民意识和政治素养。 （3）当公民的合法权益受到侵害时，公民可以通过*设立的热线电话、*部门、电子政务、依法建立的行政裁决、行政复议和行政诉讼制度等求助或投诉，维护自身的合法权益。 第四课：我国*受人民的监督 ★1、我国*依法行政的必要性 *依法行政是贯彻依法治国方略、提高行政管理水*的基本要求，体现了对人民负责的原则。 2、我国*依法行政的重要意义？ ①有利于保证人民群众的权利和自由；②有利于加强廉政建设，保证*及其公职人员不变质，增强*的权威；③有利于防止行*利的缺失和滥用，提高行政管理水*；④有利于带动全社会尊重法律，遵守法律、维护法律，促进社会主义民主法制建设。 ★3、怎样提高*依法行政的水*？ （1）依法行政的具体要求是：合法行政、合理行政、程序正当、高效便民、诚实守信、权责统一。 （2）具体举措：①加强立法工作，提高立法质量，以严格规范行政执法行为；②加强行政执法队伍建设，促进严格执法、公正执法、文明执法，不断提高执法能力和水*；③深化行政管理体制改革，努力形成行为规范、运转协调、公正透明、廉洁高效的行政管理体制。 （3）*还要审慎行使权力，科学民主决策 ★4、为什么要对*权力进行制约和监督？（必要性+意义） 必要性：权利是把双刃剑。*权力运用得好，可以造福人民；权力一旦被少数人滥用，就可能滋生腐败，贻害无穷。为了防止权利的滥用，需要对权力进行制约和监督，保证把人民赋予的权力来为人民谋利益。 ★意义：*接受监督是坚持依法行政，做好工作的必要保证。 ①只有接受监督，才能提高行政水*和工作效率，减少和防治工作失误；②才能防止滥用权力，防止以权谋私，权钱交易等腐败行为，保正清正廉洁；③才能更好的合民意、集民智、聚民心，做出正确的决策；④才能真正做到权为民所用，造福于人民，从而建立起一个具有权威和公信力的*。★5、怎样对*权力进行制约和监督？ 1）有效制约和监督权利的关键，是建立健全制约和监督机制，一靠民主，二靠法制。具体说，①发挥人民民主对权力的制约和监督，就要切实保障广大人民的选举权、知情权、参与权、监督权，使人民能够有效的监督*权力的运行；②加强法制对权力的制约和监督，就要坚持用制度管权、管事、管人，健全质询、问责、经济责任审计、引咎辞职、罢免等制度。 2）依据宪法和法律，建立和完善全面的行政监督体系。 3）*自觉接受监督，建设法治*。 6、我国的行政监督体系。 包括*大会及其常务委员会的监督，人民*的民主监督，新闻舆论和社会公众的监督，群众通过法定渠道（行政复议、行政诉讼等）的监督，司法机关的监督，*系统内部（监察、审计等部门）的监督等多种监督形式。 7、*为什么接受人民的监督？ （1）从根本上说，是有我国*的性质所决定的。我们的*是人民的*，是国家权力机关的执行机关，是人民意志的执行者和人民利益的捍卫者，*的公职人员是人民的公仆，是为人民利益工作的。因此，只有自觉接受人民的监督，才能更好地执行人民的意志，捍卫人民的利益，坚持对人民负责的原则的。 （2）*自觉接受监督的意义（略） （3）自觉接受人民监督是法治*的基本要求。只有自觉接受人民监督，才能依照法律规定的程序依法行政。所以说，自觉接收人民监督是推进依法行政，建设法治*的要求。 8、如何接收人民监督？ 我国*为了方便人民群众对*及其公职人员进行监督，建立了*信息公开制度，增强*工作的透明度。例如，“阳光工程”。建立*信息公开制度，实施“阳光工程”是自觉接受人民监督的表现。 9、“阳光工程”意义 （1）一方面是规范*及其公职人员的行政执法行为；（2）另一方面，是保障人民的权益，目的是实现和维护广大人民的根本利益。开放红头文件的查阅，说明*的群众意识、服务意识正在逐步加强。（3）利于增强*工作的透明度，便于群众加强对*工作的监督（4）利于群众维护自已的合法权益；（5）利于群众维护自己的合法权益；（6）利于化解社会矛盾，维护社会稳定。 10、*的权威及其体现： *的权威，是指*在管理公共事务过程中形成的得到人民认同的威望和影响力。从根本上讲，一个*能否具有这种权威是由国家性质决定的。*的管理是否被人民自觉的认可和服从，这是区别有权威与无权威的*的根本标志。 我国*权威的来源：*的权威是通过*及其公职人员的道德形象，依法行政的态度、能力和水*，履行职责的效果等树立起来的。怎样树立*权威？ 首先，*及其工作人员要科学决策、依法行政、审慎用权、优化公共服务、完善社会管理，要自觉接受人民监督，与人民群众保持和谐关系。 其次，*及其工作人员要经得起实践、人民、历史检验，切实实现好、维护好、发展好人民的利益。 最后，*工作人员要★坚持权为民所用，情为民所系，利为民所谋★。 第五课：我国的*大会制度 （一）*大会 ★1．全国*大会 全国*大会与其他国家机关的关系？ 全国*大会是我国最高国家权力机关，在我国国家机构中居于最高地位。其他国家机关都由它产生，对它负责，受它监督。 全国*大会的地位和职权？ 地位：全国*大会是最高国家权力机关，在我国国家机构中居于最高地位。 职权：全国*大会行使最高立法权，决定权，任免权，监督权。 全国*大会常设机关——全国*大会常务委员会（职权：国家立法权、国家决定权、国家任免权、国家监督权） 全国*大会及全国*大会常务委员会是我国的立法机关 2．地方各级*大会 地位是地方各级国家权力机关。本行政区域内的一切重大问题，都由它讨论决定，并由它监督实施。★3．*大会与其他国家机关的关系： *大会是国家权力机关；国家行政机关、司法机关都由它产生，对它负责，受它监督。 （二）* *的法律地位：国家权力机关的组**员 神奇的货币 一、揭开货币的神秘面纱 1、商品的基本属性：商品具有使用价值和价值两个基本属性 (1)价值的含义：价值是指凝结在商品中的无差别的人类劳动。 (不同的商品所以能进行交换，就是因为它有价值，价值是商品交换的基础。) (2)使用价值的含义：使用价值是指商品能够满足人们某种需要的属性。(商品的使用价值千差万别)。 (3)两者关系：商品是使用价值和价值的统一体。价值离不开使用价值，使用价值是价值的物质承担者;使用价值也离不开价值，否则就不是商品。生产者和消费者不能同时拥有使用价值和价值，生产者为实现价值必须让渡使用价值，消费者为得到使用价值必须支付价值。 2、货币的产生与本质： (1)货币的产生：货币是商品交换发展到一定阶段的产物。目的是为了克服物物直接交换所遇到的困难。货币的产生经历了四个阶段：①偶然的物物交换阶段;②扩大的物物交换阶段;③一般等价物的产生阶段;④货币的产生阶段：在众多的商品中，金和银因具有体积小、价值大、便于携带、久藏不坏、质地均匀、容易分割等天然属性，因而最适宜充当一般等价物。于是贵金属用来固定地充当一般等价物，这便标志着货币正式产生。 (2)货币的本质：货币是从商品中分离出来固定充当一般等价物的商品。货币的本质仍然是一般等价物。 3、货币的基本职能：货币具有价值尺度与流通手段两大基本职能。 (1)价值尺度：①含义：指货币作为表现和衡量其他一切商品价值大小的职能。 ②价格：用一定数量的货币表示出来的商品价值。价值是价格的基础，决定价格，价格反映价值。 ③作为价值尺度的货币并不需要现实的货币，只需要观念上的货币。 (2)流通手段：①含义：指货币充当商品交换媒介的职能。 ②商品流通：以货币为媒介的商品交换。公式：W--G――W’ ③需要现实中的货币。 (3)货币的其他三种职能：贮藏手段、支付手段、世界货币的职能。 4、金属货币与纸币： (1)纸币的含义：由国家发行的、强制使用的价值符号。 (2)纸币的本质：纸币只是价值符号，本身没有价值，国家强制方能使用。 (3)纸币与金属货币相比，纸币的制作成本低，更易于保管、携带和运输，避免了铸币在流通中的磨损。 (4)纸币的发行：国家有权发行纸币，有权规定纸币的面值与发行数量，但不能规定纸币的实际购买力，不可以任意发行纸币。纸币的发行量必须以流通中所需要的货币量为限度。如果纸币发行量过多，就会引起物价上涨，影响人民的生活和社会的经济秩序;如果纸币发行量过少，会使商品销售发生困难，直接阻碍商品流通。 (流通中所需要的货币量=商品价格总额/货币流通次数=W价格水*_待售W数量/G流通速度) ★通货膨胀与通货紧缩? 区别：①含义及实质不同。前者是指经济运行中出现的全面的、持续的物价上涨的现象。纸币发行量超过了流通中实际所需要的数量，是其主要原因之一，其实质是社会总需求大于社会总供给;而后者是与之相反的一种经济现象，它表现为物价水*在较长时间内全面、持续下降，通常伴随着经济衰退的出现，其实质是社会总需求小于社会总供给。 ②形成的原因不同。前者有四种类型，需求拉动型、成本推动型、结构型、综合型，其中纸币发行量过多属于需求拉动型。而后者则是由宏观经济环境由商品短缺转为相对过剩，货币供应量增长乏力，国外经济危机传导的物价下降等原因造成的。 ③表现不同：前者表现为纸币贬值、物价上涨、经济过热的现象;后者表现为物价持续下跌、市场疲软、经济衰退的现象。 ④危害不同：前者会直接引起纸币贬值物价上涨，如果居民的实际收入没有增长，生活水*就会下降，购买力降低，商品销售困难，造成社会经济生活秩序混乱;后者引起物价下降，在短期内对居民生活有好处，但物价总水*长时间、大范围下降，会影响投资者的信心和居民的消费心理，导致市场销售不振，对经济长远发展和居民的长远利益不利。 ⑤解决的方法不同。 解决通货膨胀的主要方法有：一是要大力发展生产，增加有效供给。二是要控制货币供应量和信贷规模，实行适度从紧的货币政策和量入为出的财政政策，努力增收节支等措施。 而要解决通货紧缩，主要靠综合运用投资、消费和出口等措施拉动经济增长，实行稳健的货币政策和积极的财政政策。对于我国这样一个发展中的大国来说，特别需要靠扩大内需的方针。?联系：①都表现为社会总需求与社会总供给不*衡。②都会影响正常的经济生活和社会经济秩序。因此，必须采取有效的措施加以抑制。 二、信用工具和外汇 1、货币的发展形式：实物货币、金属货币、纸币、信用货币、电子货币 2、结算与信用工具： (1)结算的方式一是现金结算，二是转账结算。 (2)结算的信用工具：信用卡、支票等 ①信用卡： A.含义：具有消费、转帐结算、存取现金、信用贷款等部分或全部功能的电子支付卡。其中，银行信用卡是商业银行对资信状况良好的客户发行的一种信用凭证。 B.信用卡的作用：信用卡作为转账结算的一种信用工具，集存款、取款、消费、结算、查询为一体。减少了现金的使用及不便，简化了收款手续，节省了交易费用，方便购物消费，增强消费安全，为持卡人带来极大便利。(简捷、安全、方便等优点) ②支票： A.含义：是活期存款的支付凭证，由出票人签发，委托办理支票存款业务的银行在见票时无条件支付确定的金额给收款人或持票人的一种票据。 B.种类：分转账支票和现金支票。转账支票适用于办理同城转账结算。 C.现金支票注意事项及特点：妥善保存，不得折叠;准确性，现金支票要查验金额的大小写是否一致，单位书写是否正确;有效性，要在有效期内到指定银行支取;间接性，不能拿来直接购物，支票一般用于同城结算。 3、外汇和汇率： (1)外汇的含义：外汇是用外币表示的.用于国际间结算的支付手段。 (2)汇率的含义：汇率又称汇价，是两种货币之间的兑换比率。 ①100外币可兑换更多本币-→外汇汇率升高(本币汇率降低)-→外币升值，本币贬值—→抑制进口、刺激出口-→资本流入。反之亦然。 ②影响汇率变动的因素有：国际收支状况、通货膨胀、利率水*、汇率政策、重大国际政治事件及信息、心理、投机等因素。 ③决定汇率的因素：汇率是由本国货币和他国货币实际购买力之比决定的。 (3)保持人民币币值稳定的意义： ①人民币币值稳定的含义：主要是指人民币既不贬值，也不升值。即对内保持物价总水*稳定，对外保持人民币实际有效汇率稳定。 ②保持人民币币值稳定的意义：对人民生活安定、国民经济又好又快发展，对世界金融的稳定、经济的发展，具有重要意义。 (4)人民币升值后果 积极影响: ①有利于*进口。原材料进口依赖型厂商成本下降。 ②国内企业对外投资能力增强。在华外商投资企业盈利增加。 ③有利于人才出国学*和培训。*百姓国际购买力增强。 ④外债还本付息压力减轻。*资产出卖更合算 。 ⑤*RMB国际地位提高。 负面影响: ①人民币升值会给*的通货紧缩带来更大的压力 ②人民币汇率升值将导致对外资吸引力的下降，减少外商对*的直接投资。给*的外贸出口造成一定的伤害 ③人民币汇率升值会降低*企业的利润率，增大就业压力。 ④财政赤字将由于人民币汇率的升值而增加，同时影响货币政策的稳定。 (5)外币不等于外汇，外汇能够用于国际间结算，外币不一定能。外汇的主要职能是国际结算。外汇储备主要用于稳定汇率、偿还债务、*衡国际收支等。 多变的价格 一、影响价格的因素： 1、影响价格的因素： ①影响价格的因素：如气候、时间、地域、生产等，甚至是宗教、*俗。 ②各种因素对商品价格的影响，是通过改变该商品的供求关系来实现的。2、供求影响价格。 ①供不应求，价格升高。 A、卖方市场：含义，由卖方起主导作用的一种市场类型。 B、表现：由于供不应求，卖方在市场交易中处于有利地位，即使提高价格，也能把商品卖出。 ②供过于求，价格降低。 A、买方市场，是由买方起主导作用的一种市场类型。 B、表现;由于供过于求，买方在市场交易中处于有利地位，价格通常趋于下降。 3、价值决定价格： (1)价格与价值的关系。 ①在市场经济中，价格最终是由价值决定的。价值是价格的基础，价格是价值的货币表现。 ②商品价格的高低，因为它们所含价值量不同。在其他条件不变情况下，商品价值量越大，价格越高;价值量越小，价格越低。 (2)商品价值量的决定因素：社会必要劳动时间决定商品价值量。 ①价值量的决定因素：不能由个别劳动时间决定，而是由生产商品的社会必要劳动时间决定。 A、社会必要劳动时间指现有的社会正常的生产条件下，在社会*均劳动熟练程度和劳动强度下制造某种商品的需时间。 B、个别劳动时间即商品生产者个人生产某种商品所用的时间。 ②商品价值量与社会必要劳动时间成正比。商品耗费社会必要劳动时间越多，其价值量越大，反之越小。 ③社会必要劳动时间对生产者意义。 A、个别劳动时间低于社会必要劳动时间，处于有利地位盈利。 B、个别劳动时间高于社会必要劳动时间，处于不利地位亏损。 C、相等不亏不赚。 它决定了生产者努力缩短生产商品的个别劳动时间，提高个别劳动生产率。 (3)劳动生产率：劳动者的生产效率。社会劳率↑单位时间产品数量↑劳动时间↓ ①社会劳动生产率与社会必要劳动时间、单位商品价值量关系：商品价值量社会必要劳动时间决定，社会必要劳动时间由社会劳动生产率决定。商品的价值量与社会劳动生产率成反比，社会劳动生产率提高意味着社会必要劳动时间减少。在价值总量不变的情况下，单位商品价值量就会减少，所以单位商品价值量与个别劳动生产率无关。 ②社会劳动生产率与商品价值总量的关系：(?h/个×个数=价值总量)(单商品价值量×使用价值总量=价值总量)同一劳动在同一时间，无论社会劳动生产率如何变化，商品的价值总量不变。 ③个别劳动生产率与商品价值总量的关系：个别劳动生产率提高，一个商品生产者所创造的商品的价值总量增加了。 4、价值规律的内容和表现形式。 ①价值规律的内容：商品的价值量由生产商品的社会必要劳动时间决定，商品交换以价值量为基础实行等价交换。 ②表现形式： A.受供求关系的影响，商品价格围绕价值上下波动，则是价值规律的表现形式。 B.供求与价格相互影响，相互制约。(为什么价格不会无限制上升或下降) C.等价交换：价格与价值相符的交换。等价交换存在于商品交换的*均数中，不存在于每一个个别场合。 ③作用： A.调节劳动力和生产资料在社会生产各部门的分配(原因：供求与价格相互影响相互制约。结果：使资源在社会各部门之间实现优化配置) B.刺激商品生产者改进技术，改善经营管理，提高劳动生产率(原因：社会必要劳动时间决定商品价值量。结果：使企业内部实现优化配置) C.导致商品生产的优胜劣汰。(原因：社会必要劳动时间决定商品价值量。结果：使资源在企业之间实现优化配置，总之，即有利于资源优化，合理，高效配置) 二、价格变动的影响 1、对人们生活的影响 (1)价格的变动会影响人们的购买能力从而影响商品消费量。某种商品价格上升人们会减少对它的购买，下降会增加对它的购买。 (2)商品价格变动引起该商品需求量的反方向变化。――需求法则 (3)不同商品需求量对商品价格变动的反应程度是不同的。 价格变动对粮食、食盐等生活必需品需求量的影响较小。对电视、手机等高档耐用品需求量的影响较大。 (4)消费者对既定商品的需求，还要受相关商品价格变动的影响。 ①替代品的价格变动对商品需求量的影响。 第一，如果两种商品的功用相同或相*，可以满足消费者的同一需要，这两种商品就互为替代品。 第二，在互为替代的两种商品中，一种商品价格上升，消费者将减少对该商品的需求，同时为了满足自身的需要转而消费另一种商品，导致对另一种商品需求量增加。反之，一种商品价格下降，消费者将增加对该商品的需求，导致对另一种商品需求量减少。 ②互补品的价格变动对商品需求量的影响。 第一，如果两种商品共同满足人们的一种需要，这两种商品就是互补商品。 第二，在有互补关系的商品中，一种商品的价格上升，不仅使该商品的需求量减少，同时也使另一种商品的需求量减少;反之，一种商品价格下降、需求量增加，会引起另一种商品需求量随之增加。 2、对生产经营的影响 (1)调节生产。当某种商品供过于求时，价格下降，生产者获利减少因而压缩生产规模;当供不应求是，价格上涨，获利增加因而扩大生产规模。 (2)提高劳动生产率。对企业来讲，只有提高自身的劳动生产率，才能缩短生产商品的个别劳动时间，给自己的产品提供降价空间，在价格竞争乃至生存竞争中更具优势，所以，企业应该主动提高劳动生产率。 (3)生产适销对路的高质量产品。在市场经济中，哪个生产者能够提供质量好的或者其他企业无法生产的市场需要的产品，他就能获得较大的市场份额，从中获取更多的利润。这就要求也促使生产者适应市场变化进行生产，做到“人无我有，人有我优，人优我转”。 多彩的消费 一、消费及其类型 1、影响消费的因素： (1)居民的收入：这是影响消费的最主要因素之一。 ①收入与消费的关系：收入是消费的基础和前提。一般来说收入与消费成正比。 ②值得特别注意的是：居民消费水*不仅取决于当前的收入，而且受未来收入预期的影响。 ③社会总体消费水*的高低与人们的收入差距的大小有密切的联系，人们的收入差距过大，总体消费水*会降低;反之，缩小过大的收入差距，会使总体消费水*提高。 (2)商品价格的高低，这是影响消费的又一最主要因素之一。 ①价格高低通过影响人们的消费选择来影响人们的消费水*。 ②价格高低的变化与人们消费水*成反比。 物价的变动会影响人们的购买能力从而影响商品消费量。物价上涨，人们的购买力普遍降低，消费量下降;物价下跌，则购买力普遍提高，人们消费量提高。 ③物价的变动引起的消费量的变动的程度是因商品种类而异的。一般说来，基本生活消费品的消费受价格水*变动的影响要远远低于奢侈品。 ④各种商品比价的变动也会影响消费者的选择，替代品和互补品价格变化会影响人们的消费数量。 (3)另外，商品的性能、外观、质量、包装等也能成为影响消费的原因，甚至购买方式、商店位置、服务态度、售后维修与保养情况都能影响人们的消费活动。 (4)提高人民消费水*的根本途径是：发展经济，保持经济的稳定增长，增加居民收入。此外，还需要国家宏观调控稳定物价、控制物价上涨;正确处理积累和消费关系;优化消费结构，克服不健康消费心理，树立正确消费观;控制人口增长，保护生态*衡、防治环境污染。 2、消费的类型： (1)按照产品类型不同，可以分为有形商品消费和劳务消费。前者消费的是有形商品，如书籍、电器、水果等等;而后者消费的是服务，如家教、理发等。 (2)人们最常见的是钱货两清的消费，此外，贷款消费和租赁消费也越来越常见。 ①钱货两清的消费。 我们消费的大部分商品是通过一手交钱、一手交货的交易方式获得的，一旦交易完成，商品的所有权和使用权即由买主自己享有。 ②贷款消费。 其含义是指在购买大宗商品或服务的时候，一次性付款可能会超出买主的支付能力，买主可以考虑预支未来收入进行的消费。 ③租赁消费。 第一，含义：是指有些商品由于消费者使用的次数有限，通过短期租赁的办法来获得商品在一定期限内的使用权的消费方式。 第二，租赁消费的原因：对于一些商品，消费者使用的次数有限，为暂时的使用而买下商品不划算。 第三，租赁消费的特点：商品的所有权不变，消费者获得的是商品在一定时期内的使用权。 第四，租赁消费的优点：便宜，避免了浪费，商品的使用价值可得到充分利用，有利于节约资源。 (3)按照消费的目的，生活消费可以分为生存资料消费、发展资料消费和享受资料消费。 ①生存资料消费，它满足人们较低层次的需求，是最基本的消费; ②发展资料消费，它满足人们发展的要求; ③享受资料消费，它满足人们享受的需求，是最高层次的消费。 3、消费结构 (1)消费结构的含义及特点 ①消费结构的含义：人们各类消费支出在消费总支出中所占的比重。 ②消费结构的特点(影响消费结构的因素)：消费结构不是一成不变的，它随着经济的发展、收入的变化而变化。消费结构变化的方向遵循着由生存需要到发展需要再到享受需要的顺序。 (2)恩格尔系数 ①恩格尔系数的含义：恩格尔系数是食品支出占家庭总支出的比重，它是反映人们消费结构、消费水*和生活水*的一个系数。 ②恩格尔系数大小与消费结构变化的关系： 恩格尔系数越大，意味着食品支出在家庭总支出中所占的比重越大，必然影响其他消费，影响发展和享受资料消费的增加，限制消费层次、消费质量，消费结构单一，消费水*低。恩格尔系数越小，表明人们的消费结构越完善、越优化，人们的消费水*越高，人们的生活水*越高。 二、树立正确的消费观 1、消费心理： (1)消费心理复杂性的原因：由于受自然条件、社会环境、个人经历等因素的影响，人们的消费心理往往不同，使消费带有复杂性。 (2)消费心理复杂性的表现： 消费心理的表现 特点 评价 从众心理引发 ——高一数学必修一知识点总结 (菁华6篇) 集合的运算 运算类型交 集并 集补 集 定义域 R定义域 R 值域＞0值域＞0 在R上单调递增在R上单调递减 非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上， 值域是 或 ； （2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ； （3）对于指数函数 ，总有 ； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念： 一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制 ，且 ； ○2 ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○1 常用对数：以10为底的对数 ； ○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ N ＝ b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果 ，且 ， ， ，那么： ○1 ＋ ； ○2 － ； ○3 ． 注意：换底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）． 利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） ． （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、 ， ③、对数恒等式 （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制： ，且 ． 2、对数函数的性质： a>10 定义域x＞0定义域x＞0 值域为R值域为R 在R上递增在R上递减 函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0） （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸； （3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼* 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼* 轴正半轴． 第四章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。 即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 3、函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的.图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 ． （1）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点． 5.函数的模型 函数模型及其应用 本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。 ——高一数学知识点总结 (菁华6篇) 立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 定义：有两个面互相*行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相*行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。 几何特征：两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。 (3)棱台： 定义：用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥，截面和底面之间的部分。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的.直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体： 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点： ①原来与x轴*行的线段仍然与x*行且长度不变; ②原来与y轴*行的线段仍然与y*行，长度为原来的一半。 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴*行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点： (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 幂函数 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 指数函数 (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接*于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接*于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水*直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数*。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。 (2)方程0)(xf有实根?函数()yfx的图像与x轴有交点?函数()yfx有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点 ①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。 ③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()( 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。 (2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法 ①代数法：函数)(xfy的零点?0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的.图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 (3)零点个数确定 0)(xfy有2个零点?0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点?0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点?0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼*零点,进而得到零点的*似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的*似解的步骤: ①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e; ②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc; (ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点; (ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb); ——初一数学知识点归纳 (菁华5篇) 一、同底数幂的乘法 (m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点： a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式; b)指数是1时，不要误以为没有指数; c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加; 二、幂的乘方与积的乘方 三、同底数幂的除法 (1)运用法则的前提是底数相同，只有底数相同，才能用此法则 (2)底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (3)指数相减指的是被除式的指数减去除式的指数，要求差不为负 四、整式的乘法 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。 如：bca22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数项的次数叫多项式的次数。 五、*方差公式 表达式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的*方差,这个公式就叫做乘法的*方差公式 公式运用 可用于某些分母含有根号的分式: 1/(3-4倍根号2)化简: 六、完全*方公式 完全*方公式中常见错误有： ①漏下了一次项 ②混淆公式 ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 七、整式的除法 1、单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 (1)求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂。 一般地，记作，读作：a的n次方，表示n个a相乘；其中，a是底数，n是指数，称为幂。 (2)正数的任何次幂都是正数. 负数的奇数次幂是负数， 负数的偶数次幂是正数。 (3)一个数的*方为它本身，这个数是0和1； 一个数的立方为它本身，这个数是0、1和-1。 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数； (2)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2)绝对值可表示为： 绝对值的问题经常分类讨论； (3)a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|?|b|=|a?b|， 5.有理数比大小： (1)正数的绝对值越大，这个数越大； (2)正数永远比0大，负数永远比0小； (3)正数大于一切负数； (4)两个负数比大小，绝对值大的反而小； (5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； (6)大数-小数>0，小数-大数<0. 7.1与三角形有关的线段 7.1.1三角形的边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形两边的和大于第三边。 7.1.2三角形的高、中线和角*分线 7.1.3三角形的稳定性 三角形具有稳定性。 7.2与三角形有关的角 7.2.1三角形的内角 三角形的内角和等于180。 7.2.2三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7.3多边形及其内角和 7.3.1多边形 在*面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 n边形的对角线公式： 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 7.3.2多边形的内角和 n边形的内角和公式：180(n-2) ——高一数学必修一知识点通用五篇 两个*面的位置关系： (1)两个*面互相*行的定义：空间两*面没有公共点 (2)两个*面的位置关系： 两个*面*行-----没有公共点;两个*面相交-----有一条公共直线。 a、*行 两个*面*行的判定定理：如果一个*面内有两条相交直线都*行于另一个*面，那么这两个*面*行。 两个*面*行的性质定理：如果两个*行*面同时和第三个*面相交，那么交线*行。 b、相交 二面角 (1)半*面：*面内的一条直线把这个*面分成两个部分，其中每一个部分叫做半*面。 (2)二面角：从一条直线出发的两个半*面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°] (3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 (4)二面角的面：这两个半*面叫做二面角的面。 (5)二面角的*面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的*面角。 (6)直二面角：*面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp.两*面垂直 两*面垂直的定义：两*面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个*面互相垂直。记为⊥ 两*面垂直的判定定理：如果一个*面经过另一个*面的一条垂线，那么这两个*面互相垂直 两个*面垂直的性质定理：如果两个*面互相垂直，那么在一个*面内垂直于交线的直线垂直于另一个*面。 Attention： 二面角求法：直接法(作出*面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)多面体 棱柱 棱柱的定义：有两个面互相*行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相*行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 (1)侧棱都相等，侧面是*行四边形 (2)两个底面与*行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是*行四边形 棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： (1)侧棱交于一点。侧面都是三角形 (2)*行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的*方 正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质： (1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 (3)多个特殊的直角三角形 esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 1.函数知识：基本初等函数性质的考查，以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。 2.向量知识：向量具有数与形的双重性，高考中向量试题的命题趋向：考查*面向量的基本概念和运算律;考查*面向量的坐标运算;考查*面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。 3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解，是不等式命题的新取向。高考中不等式试题的命题趋向：基本的线性规划问题为必考内容，不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高;解不等式的试题，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。 4.立体几何知识：20xx年已经变得简单，20xx年难度依然不大，基本的三视图的考查难点不大，以及球与几何体的组合体，涉及切，接的问题，线面垂直、*行位置关系的考查，已经线面角，面面角和几何体的体积计算等问题，都是重点考查内容。 5.解析几何知识：小题主要涉及圆锥曲线方程，和直线与圆的位置关系，以及圆锥曲线几何性质的考查，极坐标下的解析几何知识，解答题主要考查直线和圆的知识，直线与圆锥曲线的知识，涉及圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线方程联立，定点，定值，范围的考查，考试的难度降低。 6.导数知识：导数的考查还是以理科19题，文科20题的形式给出，从常见函数入手，导数工具作用(切线和单调性)的考查，综合性强，能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起，考查转化与化归能力，但今年的难点整体偏低。 7.开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点,理科13，文科14题。 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合 自然语言常用数集的符号： (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N ——高一数学下册知识点(5)份 空间直角坐标系定义： 过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴横轴）、y轴纵轴、z轴竖轴；统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水*面上,而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标P（x，y，z）作点的方法与步骤（路径法）： 沿x轴正方向（x>0时）或负方向（x<0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y>0时）或负方向（y<0时）移动|y|个单位，最后沿x轴正方向（z>0时）或负方向（z<> ③已知点的位置求坐标的方法： 过P作三个*面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c则a,b,c就是点P的坐标。 2、在x轴上的点分别可以表示为a,0,0,0,b,0,0,0,c。 在坐标*面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为a,b,0,a,0,c,0,b,c。 3、点Pa,b,c关于x轴的对称点的坐标为a,-b,-c； 点Pa,b,c关于y轴的对称点的坐标为-a,b,-c； 点Pa,b,c关于z轴的对称点的坐标为-a,-b,c； 点Pa,b,c关于坐标*面xOy的对称点为a,b,-c； 点Pa,b,c关于坐标*面xOz的对称点为a,-b,c； 点Pa,b,c关于坐标*面yOz的对称点为-a,b,c； 点Pa,b,c关于原点的对称点-a,-b,-c。 4、已知空间两点Px1,y1,z1，Qx2,y2,z2，则线段PQ的中点坐标为 5、空间两点间的距离公式 已知空间两点Px1,y1,z1，Qx2,y2,z2，则两点的距离为特殊点Ax,y,z到原点O的距离为 6、以Cx0,y0,z0为球心,r为半径的球面方程为 特殊地，以原点为球心,r为半径的球面方程为x2+y2+z2=r2 练*题： 选择题： 1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz*面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是（） A．3B．2C．1D．0 2．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（） A．43 B．23 C．42 D．32 3．已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，�D1，�D1），则（） A．|AB|>|CD| B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD| 4．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则|CM|?（） A．5 B．2 C．3 D．4 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα *方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接) 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 (1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数; (2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。 (3)*方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的*方和等于下面顶点上的三角函数值的*方。 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B ①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 定义： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴*行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。 范围： 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。 理解： (1)注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的.正方向; (2)规定当直线和x轴*行或重合时，它的倾斜角为0度。 意义： ①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度; ②在*面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角; ③倾斜角相同，未必表示同一条直线。 高一数学必修一知识点总结归纳 9
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