1、数据1,2,3,4,5的中位数是3.
2、三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。
3、过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。
4、圆的切线垂直于过切点的半径。
5、非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0)
6、分式的性质
7、因式分解:⑴定义;⑵方法:A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
8、样本:从总体中抽出的一部分个体。
9、对顶角及性质
10、公理、定理
11、三角形的主要线段
12、有关定理:①*行线等分线段定理及其推论1、2
13、重要辅助线:①常连结四边形的对角线;②梯形中常"*移一腰"、"*移对角线"、"作高"、"连结顶点和对腰中点并延长与底边相交"转化为三角形。
14、作图:任意等分线段。
15、a=b←→a+c=b+c
16、元一次方程组的解法:⑴基本思想:"消元"⑵方法:①代入法
17、常用等式:
18、几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
19、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
20、画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
21、在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。
22、垂径定理及其推论
23、切线的性质(重点)
24、弧长公式
25、等分圆周:4、8;6、3等分
26、当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。
27、求函数图像的k值:(y1—y2)/(x1—x2)
28、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
29、“等对等”定理及其推论
30、规律(1)(P9):一个数(0 除外)乘大于 1 的数,积比原来的数大;
31、计算钱数,保留两位小数,表示计算到分。保留一位小数,表示计算到角。
32、运算定律和性质:
33、从不同的角度观察物体,看到的形状可能是不同的;观察长方体或正方体时,从固定位置最多能看到三个面。
34、(P45)在含有字母的式子里,字母中间的乘号可以记作"·",也可 以省略不写。
35、方程的解是一个数;
36、邮政编码:由 6 位组成,前 2 位表示省(直辖市、自治区)
37、3 0 5 2 1 1 9 7 8 0 3 0 1 0 0 1 9
38、直角坐标系中,点A(3,0)在y轴上。
39、抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
40、sin260+ cos260= 1.
——中考数学知识点 50句
1、直角坐标系中,点A(3,0)在轴上。
2、当x=3时,函数=的值为1.
3、抛物线=-3(x-2)2-5的开口向下。
4、反比例函数的图象在第一、三象限
5、三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。
6、弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。
7、单项式与多项式
8、同类项及其合并
9、根式
10、同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
11、乘法法则:⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
12、算术根的性质:= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)
13、根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:A. ;B. ;C. .
14、样本*均数:⑴ ;⑵若,,…,,则(a-常数,,,…,接*较整的常数a);⑶加权*均数:;⑷*均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本*均数去估计总体*均数,样本容量越大,估计越准确。
15、垂线及基本性质(利用它证明"直角三角形中斜边大于直角边")
16、对顶角及性质
17、a=b←→ac=bc (c≠0)
18、根的判别式:
19、一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)
20、对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。
21、关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
22、一次函数
23、互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα;…
24、依据:①边的关系:
25、"三点定圆"定理
26、相切(交)两圆连心线的性质定理
27、相交弦定理
28、圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)
29、作半径
30、科学的预*方法
31、科学的听课方式
32、当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
33、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
34、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=—b/2a,顶点坐标是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)。
35、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥—b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥—b/2a时,y随x的增大而减小。
36、用待定系数法求二次函数的解析式
37、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
38、定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.
39、(P11)小数四则运算顺序跟整数是一样的。
40、运算定律和性质:
41、(P23)在实际应用中,小数除法所得的商也可以根据需要用"四舍五入"法保留一定的小数位数 求出商的*似数。
42、从不同的角度观察物体,看到的形状可能是不同的;观察长方体或正方体时,从固定位置最多能看到三个面。
43、a×a 可以写作 a·a 或 a ,a 读作 a 的*方。 2a 表示 a+a
44、个数量关系式:加法:和=加数+加数 一个加数=和-另一个加数
45、方程的检验过程:方程左边=……
46、*行四边形面积公式推导:剪拼、*移
47、等底等高的*行四边形面积相等;
48、直角三角形两个锐角互余。
49、勾股定理:两直角边*方和等于斜边*方
50、解直角三角形的应用
——中考数学知识点:圆3篇
易错点1:对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻,特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意,两条弦之间的距离也要考虑两种情况。(选题最后一题考)
易错点2:对垂径定理的理解不够,不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。
易错点3:对切线的定义及性质理解不深,不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。
易错点4:考查圆与圆的位置关系时,相切有内切和外切两种情况,包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况,学生很容易忽视其中的一种情况。(25题分类讨论)
易错点5:与圆有关的位置关系把握好d与R和R+r,R-r之间的关系以及应用上述的方法求解。
易错点6:圆周角定理是重点,同弧(等弧)所对的圆周角相等,直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
易错点7:几个公式一定要牢记:三角形、*行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式,圆周长公式,弧长,扇形面积,圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长,母线长与扇形的半径之间的转化关系。
圆的初步认识
一、圆及圆的相关量的定义
1.*面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示方法
圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d
扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个)
1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离):
P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO
2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
3.垂径定理:垂直于弦的直径*分这条弦,并且*分弦所对的弧。逆定理:*分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且*分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。
8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直*分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角*分线的交点,到三角形3边距离相等。
9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):
AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO
10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。
11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P):
外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r
三、有关圆的计算公式
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=s=πr? 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr? /360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl
四、圆的方程
1.圆的标准方程
在*面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
2.圆的一般方程
把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2
相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.
五、圆与直线的位置关系判断
链接:圆与直线的位置关系(一.5)
*面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是
讨论如下2种情况:
(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],
代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:
如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切
如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离
(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它*行于y轴(或垂直于x轴)
将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1
当x=-C/Ax2时,直线与圆相离
当x1
当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切
圆的定理:
1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理 垂直于弦的直径*分这条弦并且*分弦所对的两条弧
推论1 ①*分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且*分弦所对的两条弧
②弦的垂直*分线经过圆心,并且*分弦所对的两条弧
③*分弦所对的一条弧的直径,垂直*分弦,并且*分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条*行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
9定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等
10推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角
12①直线L和⊙O相交 d
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
13切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线*分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角
19如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
20①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-rr)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)
21定理 相交两圆的连心线垂直*分两圆的公共弦
22定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
23定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
24正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
25定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
26正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
27正三角形面积√3a/4 a表示边长
28如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
29弧长计算公式:L=n兀R/180
30扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
31内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
32定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
33推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
34推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径
35弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
小编导语:每一门功课都有它自身的规律,有它自身的特点,数学当然也不例外。下面是有关中考数学考试知识点分析:三角函数的内容,供你学*参考!
锐角三角函数定义
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c
余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c
正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b
余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a
正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b
余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a
互余角的三角函数间的关系
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
*方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
积的关系:
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
锐角三角函数公式
两角和与差的三角函数:
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
三角和的三角函数:
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
辅助角公式:
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式:
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
半角公式:
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
——中考数学知识点总结 (菁华5篇)
一、初中数学基本知识
㈠、数与代数
A、数与式:
1、有理数
有理数:①整数→正整数/0/负整数
②分数→正分数/负分数
数轴:①画一条水*直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
有理数的运算:
加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。
减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。
乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。
混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。
2、实数
无理数:无限不循环小数叫无理数
*方根:①如果一个正数X的*方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术*方根。②如果一个数X的*方等于A,那么这个数X就叫做A的*方根。③一个正数有2个*方根/0的*方根为0/负数没有*方根。④求一个数A的*方根运算,叫做开*方,其中A叫做被开方数。
立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。
实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
3、代数式
代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
4、整式与分式
整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。
幂的运算:AMAN=A(MN)
(AM)N=AMN
(A/B)N=AN/BN除法一样。
整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式。②单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
公式两条:*方差公式/完全*方公式
整式的除法:
①单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法:提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式:
①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变。
分式的运算:
乘法:把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。
除法:除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法:
①同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
②异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减。
分式方程:
①分母中含有未知数的方程叫分式方程。
②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
20xx年中考数学基础知识总结20xx年中考数学基础知识总结
B、方程与不等式
1、方程与方程组
一元一次方程:
①在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式,所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组:两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法:代入消元法/加减消元法。
一元二次方程:只有一个未知数,并且未知数的项的最高系数为2的方程
1)一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在*面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点。也就是该方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道,二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a),这大家要记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1)配方法
利用配方,使方程变为完全*方公式,在用直接开*方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式,套用公式法,和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去解
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了,方程的根X1={-b√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3)解一元二次方程的步骤:
(1)配方法的步骤:
先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的*方,最后配成完全*方公式
(2)分解因式法的步骤:
把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c
4)韦达定理
利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之积=c/a
也可以表示为x1x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用
5)一元一次方程根的情况
利用根的判别式去了解,根的判别式可在书面上可以写为“△”,读作“diata”,而△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:
I当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;
III当△<0时,一元二次方程没有实数根(在这里,学到高中就会知道,这里有2个虚数根)
2、不等式与不等式组
不等式:
①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
不等式的解集:
①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
——中考数学知识点 (菁华5篇)
第一章实数
一、重要概念
1.数的分类及概念数系表:
说明:"分类"的原则:1)相称(不重、不漏) 2)有标准
2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0)
性质:若干个非负数的和为0,则每个非负数均为0。
3.倒数:①定义及表示法
②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.01;a>1时,1/a<1;D.积为1。
4.相反数:①定义及表示法
②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴:①定义("三要素")
②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数)
定义及表示:
奇数:2n-1
偶数:2n(n为自然数)
7.绝对值:①定义(两种):
代数定义:
几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有"││"出现,其关键一步是去掉"││"符号。
二、实数的运算
1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)
2.运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]
分配律)
3.运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"
到"右"(如5÷ ×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。
三、应用举例(略)
附:典型例题
1.已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b│
=b-a.
2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。
第二章代数式
★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算
☆内容提要☆
一、重要概念
分类:
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积-包括单独的一个数或字母)
几个单项式的和,叫做多项式。
说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。如,
=x, =│x│等。
4.系数与指数
区别与联系:①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件:①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据:乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意:①从外形上判断;②区别:、是根式,但不是无理式(是无理数)。
7.算术*方根
⑴正数a的正的*方根( [a≥0-与"*方根"的区别]);
⑵算术*方根与绝对值
①联系:都是非负数,=│a│
②区别:│a│中,a为一切实数;中,a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴ ( -幂,乘方运算)
① a>0时,>0;②a<0时,>0(n是偶数),<0(n是奇数)
⑵零指数:=1(a≠0)
负整指数:=1/ (a≠0,p是正整数)
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质:= (m≠0)
⑵符号法则:
⑶繁分式:①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质:① o = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤
技巧:
5.乘法法则:⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6.乘法公式:(正、逆用)
(a+b)(a-b)=
(a±b) =
7.除法法则:⑴单÷单;⑵多÷单。
8.因式分解:⑴定义;⑵方法:A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9.算术根的性质:= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)
10.根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:A. ;B. ;C. .
11.科学记数法:(1≤a<10,n是整数=
三、应用举例(略)
四、数式综合运算(略)
第三章统计初步
★重点★
☆内容提要☆
一、重要概念
1.总体:考察对象的全体。
2.个体:总体中每一个考察对象。
3.样本:从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量:样本中个体的数目。
5.众数:一组数据中,出现次数最多的数据。
6.中位数:将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的*均数)
二、计算方法
1.样本*均数:⑴ ;⑵若,,…,,则(a-常数,,,…,接*较整的常数a);⑶加权*均数:;⑷*均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本*均数去估计总体*均数,样本容量越大,估计越准确。
2.样本方差:⑴ ;⑵若, ,…, ,则(a-接*、 、…、的*均数的较"整"的常数);若、 、…、较"小"较"整",则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接*总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。
3.样本标准差:
三、应用举例(略)
第四章直线形
★重点★相交线与*行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆内容提要☆
一、直线、相交线、*行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从"图形"、"表示法"、"界限"、"端点个数"、"基本性质"等方面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用"线段的基本性质"论证"三角形两边之和大于第三边")
4.两点间的距离(三个距离:点-点;点-线;线-线)
5.角(*角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的*分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明"直角三角形中斜边大于直角边")
9.对顶角及性质
10.*行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理:①同*行于一条直线的两条直线*行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线*行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类:⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三角形中,
3.三角形的主要线段
讨论:①定义②线的交点-三角形的×心③性质
①高线②中线③角*分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定:①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质:等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助*行线
8.证明方法
⑴直接证法:综合法、分析法
⑵间接证法-反证法:①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系:加倍法、折半法
⑸证线段和差关系:延结法、截余法
⑹证面积关系:将面积表示出来
三、四边形
分类表:
1.一般性质(角)
⑴内角和:360°
⑵顺次连结各边中点得*行四边形。
推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和:360°
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵*行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤:四边形→*行四边形→矩形→正方形
┗→菱形--↑
⑷对角线的纽带作用:
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理:①*行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③*行线间的距离处处相等。(如,找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线:①常连结四边形的对角线;②梯形中常"*移一腰"、"*移对角线"、"作高"、"连结顶点和对腰中点并延长与底边相交"转化为三角形。
6.作图:任意等分线段。
四、应用举例(略)
第五章方程(组)
★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)
☆内容提要☆
一、基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
2.分类:
二、解方程的依据-等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bc (c≠0)
三、解法
1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法:⑴基本思想:"消元"⑵方法:①代入法
②加减法
四、一元二次方程
1.定义及一般形式:
2.解法:⑴直接开*方法(注意特征)
⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式)
⑶公式法:
⑷因式分解法(特征:左边=0)
3.根的判别式:
4.根与系数顶的关系:
逆定理:若,则以为根的一元二次方程是:。
5.常用等式:
五、可化为一元二次方程的方程
1.分式方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①去分母法②换元法(如,)
⑷验根及方法
2.无理方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例,)⑷验根及方法
3.简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题
一概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1.行程问题(匀速运动)
基本关系:s=vt
⑴相遇问题(同时出发):
⑵追及问题(同时出发):
若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则
⑶水中航行:;
2.配料问题:溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3.增长率问题:
4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位"1")。
5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化
如,"多"、"少"、"增加了"、"增加为(到)"、"同时"、"扩大为(到)"、"扩大了"、……
又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。五注意单位换算
如,"小时""分钟"的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例(略)
第六章一元一次不等式(组)
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆内容提要☆
1.定义:a>b、a
2.一元一次不等式:ax>b、ax
3.一元一次不等式组:
4.不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac
⑷(传递性)a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)
7.应用举例(略)
第七章相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套(比例的有关性质):
涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。
第二套:
注意:①定理中"对应"二字的含义;
②*行→相似(比例线段)→*行。
二、相似三角形性质
1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证(解)题规律、辅助线
1."等积"变"比例","比例"找"相似"。
2.找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来
3.添加辅助*行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4.对比例问题,常用处理方法是将"一份"看着k;对于等比问题,常用处理办法是设"公比"为k。
5.对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)"抽"出来的办法处理。
五、应用举例(略)
第八章函数及其图象
★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。
☆内容提要☆
一、*面直角坐标系
1.各象限内点的坐标的特点
2.坐标轴上点的坐标的特点
3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4.坐标*面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有
意义。
3.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
(定义→图象→性质)
1.正比例函数
⑴定义:y=kx(k≠0)或y/x=k。
⑵图象:直线(过原点)
⑶性质:①k>0,…②k<0,…
2.一次函数
⑴定义:y=kx+b(k≠0)
⑵图象:直线过点(0,b)-与y轴的交点和(-b/k,0)-与x轴的交点。
⑶性质:①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况:
3.二次函数
⑴定义:特殊地,都是二次函数。
⑵图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点)。用配方法变为,则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。
⑶性质:a>0时,在对称轴左侧…,右侧…;a<0时,在对称轴左侧…,右侧…。
4.反比例函数
⑴定义:或xy=k(k≠0)。
⑵图象:双曲线(两支)-用描点法画出。
⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接*于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1.用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标。如下图:
2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
六、应用举例(略)
第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
一、三角函数
1.定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2.特殊角的三角函数值:
0° 30° 45° 60° 90°
sinα
cosα
tgα /
ctgα /
3.互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα;…
4.三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1.定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
2.依据:①边的关系:
②角的关系:A+B=90°
③边角关系:三角函数的定义。
注意:尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1.俯、仰角:2.方位角、象限角:3.坡度:
4.在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。
四、应用举例(略)
第十章圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆
一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3."三点定圆"定理
4.垂径定理及其推论
5."等对等"定理及其推论
5.与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质:
2.切线的性质(重点)
3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4.切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切)
2.相切(交)两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角:
内角的一半:(右图)
(解Rt△OAM可求出相关元素, 、等)
六、一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、点的轨迹
六条基本轨迹
八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.*分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周:4、8;6、3等分
九、基本图形
十、重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线(连心线)
6.两圆相交公共弦
中考数学九年级学*方法
1、科学的预*方法
预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。
2、科学的听课方式
听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。
3、科学的记录笔记
记问题--将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。
记疑点--对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。
记方法--勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。
记总结--注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。
中考数学九年级学*技巧
养成良好的学*数学*惯
多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法
中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。
一次函数
一、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为常数,k≠0)
二、一次函数的性质:
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2、当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:
1、作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2、性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(—b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3、k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用:
1、当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2、当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。
六、常用公式:
1、求函数图像的k值:(y1—y2)/(x1—x2)
2、求与x轴*行线段的中点:|x1—x2|/2
3、求与y轴*行线段的中点:|y1—y2|/2
4、求任意线段的长:√(x1—x2)^2+(y1—y2)^2(注:根号下(x1—x2)与(y1—y2)的*方和)
二次函数
一、定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x—h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x—x?)(x—x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4ax?,x?=(—b±√b^2—4ac)/2a
三、二次函数的图像
在*面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
四、抛物线的性质
1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=—b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2、抛物线有一个顶点P,坐标为P(—b/2a,(4ac—b^2)/4a)
当—b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2—4ac=0时,P在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5、常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6、抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2—4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2—4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2—4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=—b±√b^2—4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
五、二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1、二次函数y=ax^2,y=a(x—h)^2,y=a(x—h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式顶点坐标对称轴
y=ax^2(0,0)x=0
y=a(x—h)^2(h,0)x=h
y=a(x—h)^2+k(h,k)x=h
y=ax^2+bx+c(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)x=—b/2a
当h>0时,y=a(x—h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左*行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x—h)^2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左*行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左*行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x—h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大**置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=—b/2a,顶点坐标是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)。
3、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥—b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥—b/2a时,y随x的增大而减小。
4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2—4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x?—x?|
当△=0。图象与x轴只有一个交点;
当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=—b/2a时,y最小(大)值=(4ac—b^2)/4a。
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。
6、用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x—h)^2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x—x?)(x—x?)(a≠0)。
7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。
反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质:
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数,有f(—x)=—f(x),图像关于原点对称。
另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。
如图,上面给出了k分别为正和负(2和—2)时的函数图像。
当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
知识点:
1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2、对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右*移一个单位。(加一个数时向左*移,减一个数时向右*移)
知识点1:一元二次方程的基本概念
1.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2.
2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2.
3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7.
4.把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.
知识点2:直角坐标系与点的位置
1.直角坐标系中,点A(3,0)在y轴上。
2.直角坐标系中,x轴上的任意点的横坐标为0.
3.直角坐标系中,点A(1,1)在第一象限。
4.直角坐标系中,点A(-2,3)在第四象限。
5.直角坐标系中,点A(-2,1)在第二象限。
知识点3:已知自变量的值求函数值
1.当x=2时,函数y=的值为1.
2.当x=3时,函数y=的值为1.
3.当x=-1时,函数y=的值为1.
知识点4:基本函数的概念及性质
1.函数y=-8x是一次函数。
2.函数y=4x+1是正比例函数。
3.函数是反比例函数。
4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下。
5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
6.抛物线的顶点坐标是(1,2)。
7.反比例函数的图象在第一、三象限。
知识点5:数据的*均数中位数与众数
1.数据13,10,12,8,7的*均数是10.
2.数据3,4,2,4,4的众数是4.
3.数据1,2,3,4,5的中位数是3.
知识点6:特殊三角函数值
1.cos30= 。
2.sin260+ cos260= 1.
3.2sin30+ tan45= 2.
4.tan45= 1.
5.cos60+ sin30= 1.
知识点7:圆的基本性质
1.半圆或直径所对的圆周角是直角。
2.任意一个三角形一定有一个外接圆。
3.在同一*面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆。
4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等。
5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
6.同圆或等圆的半径相等。
1、矩形的概念
有一个角是直角的*行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)具有*行四边形的一切性质(2)矩形的四个角都是直角
(3)矩形的对角线相等(4)矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
(1)定义:有一个角是直角的*行四边形是矩形(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
(3)定理2:对角线相等的*行四边形是矩形
4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
二次函数概念
二次函数的概念:一般地,形如ax^2+bx+c = 0的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线,图象对称是关键;
开口、顶点和交点,它们确定图象限;
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。
一、目标与要求
1、感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义,通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,会把不等式的解集正确地表示到数轴上;
2、经历由具体实例建立不等模型的过程,经历探究不等式解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合思想;
3、通过对不等式、不等式解与解集的探究,引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域。
二、重点
理解并掌握不等式的性质;
正确运用不等式的性质;
建立方程解决实际问题,会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;
寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型;
一元一次不等式组的解集和解法。
三、难点
一元一次不等式组解集的理解;
弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式;
正确理解不等式、不等式解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示到数轴上。
初中数学集合的运算中考知识点集锦
集合的运算知识:它包括有交换律、结合律、分配对偶律、对偶律、同一律等。
集合的运算定律
交换律:A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配对偶律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
对偶律:(A∪B)^C=A^C∩B^C
(A∩B)^C=A^C∪B^C
同一律:A∪Φ=A
A∩U=A
——小学数学知识点 40句菁华
1、多几的问题。未知数比谁多几,就用谁加上几。如:比29多17的数是多少?(29+17=46)
2、个位满10向十位进1。
3、个位不够减从十位退1,在个位加10再减。
4、每求出一位商,余下的数必须比除数小。
5、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商;
6、常用的时间单位:时、分、秒、年、月、日、世纪等。
7、把一个整体*均分得的份数越多,它的每一份所表示的数就越小。
8、分数的意义:把一个整体*均分成若干份,表示几份就是这个整体的几分之几,所分的份数作分母,所取的份数作分子。
9、数的大小比较:
10、四边形的特点:有四条直的边,有四个角。
11、一个因数中间有0的乘法:
12、求几个相同加数的和,用乘法表示更加简便。求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
13、“求几个几相加的和是多少”和“求一个数的几倍是多少”用乘法计算,如:7的3倍是多少?(7×3=21),5个8相加的和是多少?(8×5=40)
14、会数“正”,知道一个“正”字代表数量5。
15、数据收集---整理---分析表格。
16、用2~6的乘法口诀求商
17、汽车在笔直的公路上行驶,车身的运动是( )现象
18、教室门的打开和关闭,门的运动是( )现象。
19、想好先解决什么问题,再解决什么问题。
20、不同级运算的类型:
21、带小括号运算的类型:方法:算式里有括号的,要先算括号里面的。
22、练*十三 第4题 (重点)
23、22个学生去划船,每条船最多坐4人,他们至少要租多少条船?
24、读数时,要从高位读起。百位上是几就几百,十位上几就几十,个位上是几就读几中间有一个0,就读“零”,末尾不管有几个0,都不读。【例如:20xx读作二千零三,2300读作二千三百】
25、万以内数的读法和写法与1000以内的数读法和写法相同。
26、相邻两个计数单位之间的进率是10。记:一个一个地数,10个一是( )。一十一十地数,10个十是( )。一百一百地数,10个一百是( )。一千一千地数,10个一千是( )。
27、在数位顺序表中,从右边起,第一位是(个位),第二位是(十位),第三位是(百位),第四位是(千位),第五位是(万位)。
28、计算或者比较大小时,如果单位不同,就需要把单位统一。一般统一成单位“克”。
29、已知一个数的百分之几是多少,求这个数。
30、百分数应用题型分类
31、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
32、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
33、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
34、练*
35、捆小棒(11~20各数的认识) 知识点:
36、退位减:减法运算中必须向高位借位的减法运算。例:51-22=39
37、圆是*面内封闭曲线围成的*面图形。
38、圆的特征:外形美观,易滚动。
39、圆面积公式的推导
40、跑道:每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等,所以,起跑线不同,相邻两条跑道起跑线也不同,间隔的距离是:2×π×跑道宽度。