【教学目标】
（一）知识与技能
1、了解幂函数的概念，会画幂函数y?x,y?x,y?x，y?x，y?x的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
2、了解几个常见的幂函数的性质。
（二）过程与方法
1、通过观察、总结幂函数的性质，提高概括抽象和识图能力。
2、体会数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观
1、通过生活实例引出幂函数的概念，体会生活中处处有数学，树立学以致用的意识。
2、通过合作学*，增强合作意识。
【教学重点】
幂函数的定义
【教学难点】
会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象、
【教学方法】
启发式、讲练结合教学过程
一、复*旧课
二、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S?a2，这里S是a的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V?a3,这里V是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a?S12,这里a是S的函数
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度V?t?1km/s，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的概念
如果设变量为x,函数值为y，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？幂函数的定义：一般地，我们把形如y?x?的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，?是常数。 【探究一】幂函数有什么特点？
结论：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数试一试：判断下列函数那些是幂函数练*1判断下列函数是不是幂函数3(1) y＝2 x；(2) y＝2 x5；7(3) y＝x8；(4) y＝x2＋3、
根据你的学*经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？
（二）：求幂函数的定义域
1.什么是函数的定义域？
函数自变量的取值范围叫做函数的定义域2.求函数的定义域时依据哪些原则？(1)解析式为整式时，x取值是全体实数。
2 (2)解析式是分式时,x取值使分母不等于零。
(3)解析式为偶次方根时，x取值使被开方数取非负实数。 (4)以上几种情况同时出现时，x取各部分的交集。
(5)当解析式涉及到具体应用题时，x取值除了使解析式有意义还要使实际问题有意义。例1写出下列函数的定义域：1(1) y＝x3；(2) y＝x2；－32、 (3) y＝x－；(4) y＝x2解：(1)函数y＝x3的定义域为R；
1(2)函数y＝x2，即y＝x，定义域为[0，＋∞)；
12(3)函数y＝x－，即y＝2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
x3－1(4)函数y＝x2，即y＝，其定义域为(0，＋∞)、
3 x练*2求下列函数的定义域：
11－(1) y＝x2；(2) y＝x 3；(3) y＝x-1；(4) y＝x2、
（三）、几个常见幂函数的图象和性质
我们已经学*了幂函数(1) y＝x；(2) y＝x2.(3) y＝x－、（4）y=x3 (5) y＝1x2；请同学们在同一坐标系中画出它们的图象.性质：幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)，都经过第一象限;当??0是，图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间?0,???上是单调增函数。??0时幂函数y?x?图象的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0,??)上是单调减函数，且向右无限接*X轴，向上无限接 *Y轴。
（四）课堂小结
（五）课后作业
1、教材P 100，练*A第1题、
12在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝x2的图象，并指数这两个函数各有什么性质以
3及它们的图象关系
教学目标
1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．
3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．
教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念．
教学难点：函数单调性的判定．
教学过程设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象．）
第一组：
第二组：
生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．
师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学*一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）
二、对概念的分析
（板书课题：）
师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．
（学生朗读．）
师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．
师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学*数学的兴趣．）
师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．
（指图说明．）
师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．
（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）
生：较大的函数值的函数．
师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．
（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）
师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？
（学生思索．）
学生在高中阶段以至在以后的学*中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
师：很好，我们在学*任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学*几个相*的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能．因为此时函数值是一个数．
师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．
（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）
师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．
师：你答的很对．能解释一下为什么吗？
（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）
师：“属于”是什么意思？
生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
生：可以．
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
（让学生思考片刻．）
生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学*的能力．）
三、概念的应用
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
（用投影幻灯给出图象．）
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？
师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．
师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．
（指出用定义证明的必要性．）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．
（教师巡视，并指定一名中等水*的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）
师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a―b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．
生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函数．
师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全*方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维*惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）
调函数吗？并用定义证明你的结论．
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．
生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．
上是减函数．
（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分．
（2）要说明三个代数式的符号：k，x1・x2，x2-x1．
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？
（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）
生：这节课我们学*了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．
五、作业
1．课本P53练*第1，2，3，4题．
数．
=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）
=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）
+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．
课堂教学设计说明
是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学*中学有所用．
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学*的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．
教学目标：
1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．
教学重点：
常见幂函数的概念、图象和性质；
教学难点：
幂函数的单调性及其应用．
教学方法：
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学*，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．
教学过程：
一、问题情境
情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．
问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
二、数学建构
1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．
2．幂函数＝x 图象的分布与 的关系：
对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；
若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；
若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；
对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．
3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：
（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；
≤0时，图象过只过定点(1，1)．
（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；
＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．
三、数**用
例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性
（1）＝ ； （2）＝ ；（3）＝ ；（4）＝ ．
例2 比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1
（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2
例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．
练*：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；
③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有 （写出所有幂函数的序号）．
（2）函数 的定义域是 ．
（3）已知函数 ，当a＝ 时，f(x)为正比例函数；
当a＝ 时，f(x)为反比例函数；当a＝ 时，f(x)为二次函数；
当a＝ 时，f(x)为幂函数．
（4）若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为 ．
四、要点归纳与方法小结
1．幂函数的概念、图象和性质；
2．幂值的大小比较方法．
五、作业
课本P90-2，4，6．
教学目标
1、使学生掌握的概念，图象和性质。
（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。
（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。
（3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。
2、x通过对的概念图象性质的学*，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学*数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。
教学建议
教材分析
（1）x是在学生系统学*了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学*对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。
（2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。
（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。
教法建议
（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。
（2）对底数x的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学*对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。
关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。
教学设计示例
课题
教学目标
1。x理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。
2。x通过的图象和性质的学*，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3。x通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学*兴趣。
教学重点和难点
重点是理解的定义，把握图象和性质。
难点是认识底数对函数值影响的认识。
教学用具
投影仪
教学方法
启发讨论研究式
教学过程
一、x引入新课
我们前面学*了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数。
1、6、（板书）
这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数x与x之间，构成一个函数关系，能写出x与x之间的函数关系式吗？
由学生回答：x与x之间的关系式，可以表示为x。
问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为x米，试写出x与x之间的函数关系。
由学生回答：x。
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。
x的概念（板书）
1、定义：形如x的函数称为。（板书）
教师在给出定义之后再对定义作几点说明。
2、几点说明x（板书）
（1）x关于对x的规定：
教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若x会有什么问题？如x，此时x，x等在实数范围内相应的函数值不存在。
若x对于x都无意义，若x则x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定x且x。
（2）关于的定义域x（板书）
教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时，x也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的"性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为x。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。
（3）关于是否是的判断（板书）
刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。
（4）x，x
（5）x。
学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3）x可以写成x，也是指数图象。
最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。
3、归纳性质
作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。
函数
1、定义域x：
2、值域：
3、奇偶性x：既不是奇函数也不是偶函数
4、截距：在x轴上没有，在x轴上为1。
对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于x轴上方，且与x轴不相交。）
在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的`值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。
此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠*x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。
二、图象与性质（板书）
1、图象的画法：性质指导下的列表描点法。
2、草图：
当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且x，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取x为例。
此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即x=x与x图象之间关于x轴对称，而此时x的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到x的图象。
最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如x的图象一起比较，再找共性）
由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：
以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。
填好后，让学生仿照此例再列一个x的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。
3、性质。
（1）无论x为何值，x都有定义域为x，值域为x，都过点x。
（2）x时，x在定义域内为增函数，x时，x为减函数。
（3）x时，x，x x时，x。
总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。
三、简单应用x （板书）
1、利用单调性比大小。x（板书）
一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。
例1、x比较下列各组数的大小
（1）x与x;x（2）x与x;
（3）x与1x。（板书）
首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。
解：x在x上是增函数，且
教师最后再强调过程必须写清三句话：
（1）x构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。
（2）x自变量的大小比较。
（3）x函数值的大小比较。
后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。
例2。比较下列各组数的大小
（1）x与x;x（2）x与x ;
（3）x与x。（板书）
先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说x可以写成x，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说x可以写成x，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）
最后由学生说出x>1，<1。
解决后由教师小结比较大小的方法
（1）x构造函数的方法：x数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）
（2）x搭桥比较法：x用特殊的数1或0。
四、巩固练*
练*：比较下列各组数的大小（板书）
（1）x与x x（2）x与x;
（3）x与x;x（4）x与x。解答过程略
五、小结
1、的概念
2、的图象和性质
3、简单应用
六、板书设计
教学目标
1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．
3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．
教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念．
教学难点：函数单调性的判定．
教学过程设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象．）
第一组：
第二组：
生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．
师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学*一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）
二、对概念的分析
（板书课题：）
师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．
（学生朗读．）
师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．
师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学*数学的兴趣．）
师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．
（指图说明．）
师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．
（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）
生：较大的函数值的函数．
师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．
（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）
师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？
（学生思索．）
学生在高中阶段以至在以后的学*中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
师：很好，我们在学*任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学*几个相*的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能．因为此时函数值是一个数．
师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．
（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）
师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的'性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．
师：你答的很对．能解释一下为什么吗？
（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）
师：“属于”是什么意思？
生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
生：可以．
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
（让学生思考片刻．）
生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学*的能力．）
三、概念的应用
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
（用投影幻灯给出图象．）
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？
师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．
师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．
（指出用定义证明的必要性．）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．
（教师巡视，并指定一名中等水*的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）
师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．
生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函数．
师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全*方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维*惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）
调函数吗？并用定义证明你的结论．
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．
生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．
上是减函数．
（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分．
（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？
（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）
生：这节课我们学*了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．
五、作业
1．课本P53练*第1，2，3，4题．
数．
=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）
=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）
+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．
课堂教学设计说明
是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学*中学有所用．
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学*的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．
——幂函数教案 (菁华3篇)
教学目标
1、使学生掌握的概念，图象和性质。
（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。
（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。
（3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。
2、x通过对的概念图象性质的学*，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学*数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。
教学建议
教材分析
（1）x是在学生系统学*了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学*对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。
（2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。
（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。
教法建议
（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。
（2）对底数x的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学*对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。
关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。
教学设计示例
课题
教学目标
1。x理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。
2。x通过的图象和性质的学*，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3。x通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学*兴趣。
教学重点和难点
重点是理解的定义，把握图象和性质。
难点是认识底数对函数值影响的认识。
教学用具
投影仪
教学方法
启发讨论研究式
教学过程
一、x引入新课
我们前面学*了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数。
1、6、（板书）
这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数x与x之间，构成一个函数关系，能写出x与x之间的函数关系式吗？
由学生回答：x与x之间的关系式，可以表示为x。
问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为x米，试写出x与x之间的函数关系。
由学生回答：x。
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。
x的概念（板书）
1、定义：形如x的函数称为。（板书）
教师在给出定义之后再对定义作几点说明。
2、几点说明x（板书）
（1）x关于对x的规定：
教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若x会有什么问题？如x，此时x，x等在实数范围内相应的函数值不存在。
若x对于x都无意义，若x则x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定x且x。
（2）关于的定义域x（板书）
教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时，x也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的"性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为x。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。
（3）关于是否是的判断（板书）
刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。
（4）x，x
（5）x。
学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3）x可以写成x，也是指数图象。
最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。
3、归纳性质
作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。
函数
1、定义域x：
2、值域：
3、奇偶性x：既不是奇函数也不是偶函数
4、截距：在x轴上没有，在x轴上为1。
对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于x轴上方，且与x轴不相交。）
在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。
此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠*x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。
二、图象与性质（板书）
1、图象的画法：性质指导下的列表描点法。
2、草图：
当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且x，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取x为例。
此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即x=x与x图象之间关于x轴对称，而此时x的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到x的图象。
最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如x的图象一起比较，再找共性）
由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：
以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。
填好后，让学生仿照此例再列一个x的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。
3、性质。
（1）无论x为何值，x都有定义域为x，值域为x，都过点x。
（2）x时，x在定义域内为增函数，x时，x为减函数。
（3）x时，x，x x时，x。
总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。
三、简单应用x （板书）
1、利用单调性比大小。x（板书）
一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。
例1、x比较下列各组数的大小
（1）x与x;x（2）x与x;
（3）x与1x。（板书）
首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。
解：x在x上是增函数，且 教师最后再强调过程必须写清三句话： （1）x构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。 （2）x自变量的大小比较。 （3）x函数值的大小比较。 后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。 例2。比较下列各组数的大小 （1）x与x;x（2）x与x ; （3）x与x。（板书） 先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说x可以写成x，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说x可以写成x，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用） 最后由学生说出x>1，<1。 解决后由教师小结比较大小的方法 （1）x构造函数的方法：x数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的） （2）x搭桥比较法：x用特殊的数1或0。 四、巩固练* 练*：比较下列各组数的大小（板书） （1）x与x x（2）x与x; （3）x与x;x（4）x与x。解答过程略 五、小结 1、的概念 2、的图象和性质 3、简单应用 六、板书设计 一、教学内容分析 教材地位：幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化、 教学重点：幂函数的图像与性质、 教学难点：以幂函数为背景的图像变换、 二、教学目标设计 能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质；理解幂函数图像的演进及单调性质；理解幂函数图形特征与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。能以幂函数为背景进行基本的函数图像的*移和对称变换、 三、教学流程设计 设置情境→探索研究→总结提炼 →尝试应用→练*回馈→设置评价 五、教学过程设计 1、情境设置 指导学生描画一些典型的幂函数的图像，回忆并归纳幂函数的性质、 2、探索研究 问题：如图所示的分别是幂函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在坐标系中第一象限内的图像，请尽可能精确地将指数的范围分别确定出来 3、总结提炼 揭示幂函数图像特征与底数的依赖关系、师生共同整理出规律性结论、 4、尝试应用 ①（1）研究函数的图像之间的关系； （2）在同一坐标中作上述函数的图像； （3）由所作函数的图像判断最后一个函数的奇偶性、单调性、 ②已知函数 （1）试求该函数的零点，并作出图像； （2）是否存在自然数，使=1000，若存在，求出；若不存在，请说明理由、 ③作函数的大致图像、 5、练*回馈 课本第83页练*4、1（2） 六、教学评价设计 *题4、1—— B组（根据学生具体情况选用） 一、教材分析 幂函数是学生在系统学*了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质(定义域、值域、图像、奇偶性、单调性)研究一个函数的意识。因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。从概念到图象( )，利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，概括、归纳幂函数的性质，培养学生从特殊到一般再到特殊的一般认知规律。从教材的整体安排看，学*了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。 二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水*和心理特征，确定本节课的教学目标如下： [知识与技能] 使学生了解幂函数的定义，会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象和性质，初步学会运用幂函数解决问题，进一步体会数形结合的思想。 [过程与方法] 引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的.思维能力，体会数学概念的学*方法;通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学*数学规律的方法，体验成功的乐趣;对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力;运用性质解决问题时，进一步强化数形结合思想。 [情感、态度与价值观] 通过生活实例引出幂函数概念，使学生体会生活中处处有数学，激发学生的学*兴趣。通过本节课的学*，使学生进一步加深研究函数的规律和方法;提高学生的学*能力;养成积极主动，勇于探索，不断创新的学**惯和品质;树立学科学，爱科学，用科学的精神。 三、重、难点分析 [教学重点] (1)幂函数的定义与性质; (2)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)的影响。从知识体系看，前面有指数函数与对数函数的学*，后面有其他函数的研究，本节课的学*具有承上启下的作用;就知识特点而言，蕴涵丰富的数学思想方法;就能力培养来说，通过学生对幂函数性质的归纳，可培养学生类比、归纳概括能力，运用数学语言交流表达的能力。 [教学难点] (1)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)性态的影响。 (2)数形结合解决大小比较以及求参数的问题。从学生认知发展看，他们具备一定的学*新函数的能力，可以通过学*指数函数与对数函数的方法来类比，但毕竟幂函数在三种初等函数中是最难的，因为它分类的情况很多，且性质多而复杂，我采用让学生自己利用计算机作出函数的图像，从中归纳性质的方法来突破难点。 四、学情与教法分析 1. 学情分析 从学生思维特点来和认知结构看，前面学生已经学*指数函数与对数函数，对新函数的学*已经有了一定的经验。一方面可以把本节课与前面的指数函数与对数函数进行类比学*，但另一方面本节课分类情况多，性质归纳困难，尤其是三个函数放在一起可能产生混淆。对进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 2. 教法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维*惯上还有待教师引导从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。 3.教学构想 新课标的要求是通过实例，了解y=x， ， ， ， 的图像，了解它们的变化情况。而原数学教学大纲要求掌握幂函数的概念及其图像和性质，在考查掌握函数性质和运用性质解决问题时，所涉及的幂函数f(x)=xα中 α限于在集合{-2,-1,-,,,1,2,3}中取值。新课标无论从内容的容量和难度上都要远低于旧课标。而苏教版的教材严格按照新课标要求处理此部分内容，内容体系均未超出课标要求。所以我们应以新课标为准绳，控制难度与要求。由于本节课的难点在于指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)性态的影响，本身幂函数比较抽象，所以我采用在多媒体教室让学生用Excel来模拟得到图象，再从图象上观察、归纳函数的性质。从心理学上讲，自己经历知识的发生发展过程，印象更深刻，学生容易接受与理解。 五、教具准备 教师准备教科书、多媒体课件，在计算机教室。 六、教学过程 教学 环节 教学设计 设计 意图 教学内容 教师活动 学生活动 ? 问 题 情 景 1 我们知道：一定，?的变化而变化，我们建立了指数函数?一定，?的变化而变化，我们建立了对数函数?一定，?的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？ 打开多媒体课件，带领大家一起回顾前面的知识点。 在老师的引导下，展开思维分析。 知识点回顾，揭示函数之间的联系，追求函数的完美,知识体系的完备性。 ? 问 题 情 景 2 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数。 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S = a2，这里S是a的函数。 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V = a3，这里V是a的函数。 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S?km/s，这里v是t的函数。 引导学生观察五个有关幂函数模型的生活实例，帮助学生归纳这些函数的共同特征。 由于是熟悉的背景，学生求函数的解析式还是轻松的，只是从中归纳函数的共同特点有点困难。 主要目的是引出五种典型的幂函数，为后面三大类幂函数的归纳总结打下基础。提出日常生活中的问题，学生既容易理解，又可以增加学*的兴趣。 得出幂函数的定义 我们把形如：?是实常数。 ? 判断下列函数那些是幂函数: ①y=x－2;②y=2x2;③y=(2x)0.5;④y=2x 让学生归纳总结，类比指数函数与幂函数，指出形式上的特点：①底数只能是自变量x，②x前系数只能为1。 观察、分析，概括。在练*的过程中加深对概念的理解和形式的注意。 学生自主探究，培养学生的观察、概括能力。 建 构 数 学 例2、求下列函数的定义域，判断它们的奇偶性。 （1） （3）利用Excel作出下列幂函数的图象并观察其特点。 （1）y=x （2）? （3） 在前面例1的基础上利用函数的定义域，列出数据，先用计算机模拟画出图象示范给学生看，让学生自己动手操作，一边巡视一边指导。 同时引导学生观察、思考填写表格。启发学生类比前面研究指数和对数函数的方法，从特殊到一般，归纳总结幂函数的性质。 学生自己跟着老师的步骤操作，利用计算机作出五种典型函数的图象，让学生观察和分析所作的图象，归纳得出图象特征，并由图象特征得到相应的函数性质。经历知识发生过程，性质的归纳不断由学生补充，修改和完善，学会数学语言的运用与交流，体会合作学*的快乐与成功带来的成就感。 预见到学生对抽象的幂函数理解比较困难，所以让学生亲身经历知识的发生发展过程，印象更加深刻。在归纳总结的过程中，培养学生研究新函数从特殊到一般，类比联想的数学方法；积累学生独立思考与互相合作学*的经验。 归 ? 纳 ? 概 ? 括 ——幂函数教学反思 (菁华3篇) 1、总体设计说明 幂函数是函数教学的最后一个函数，在通过学*了指数函数与对数函数之后，同学们已经基本掌握了研究函数的一般方法，因此幂函数是交给学生自主研究的一个重要的契机。函数的学*，目的在于通过对几个基本初等函数的研究让学生掌握研究一个陌生函数的方法。 基于以上认识，确定本节课的教学目标如下 (1)引导学生从具体实例中概括典型特征，形成幂函数的概念，并用数学符号表示。 (2)运用数学结合的思想，让学生经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，运动研究函数的一般方法，掌握幂函数的图像特征与性质。 (3)能够利用幂函数的性质比较两个数的大小 教学重点与难点如下 教学重点：通过让学生经历几个特殊幂函数的研究过程，抽象概括幂函数的图像与性质 教学难点：根据具体的幂函数的图像与性质归纳出一般幂函数的图像与性质 本节课的教学采用开放式的自主学*方式，通过引导学生对几个具体的幂函数的研究让学生归纳出一般幂函数的图像与性质。 本节课的教学过程分为三个阶段：一是概念建构;二是实验探究;三是性质应用 2、教学过程剖析 2.1创设情境 建构概念 问题1 (1)正方形的边长a与面积S之间是函数关系吗? (2)正方体的'边长a与体积V之间是函数关系吗? 【设计意图】 从实际的问题引入，让学生感受幂函数与实际的联系，初步感受幂函数 学生找到两个变量之间的函数关系，并给出函数的解析式： 和 。 师：我们把形如 的函数称为幂函数。 直接给出定义，这里其实可以让学生再举几个类似的函数的例子，通过多个实例再让学生抽象幂函数的定义会更好。 师：我们研究问题一般是从特殊到一般，具体到抽象的一个过程，因此我们可以先研究几个特殊的幂函数，比如最特殊 ，图像长什么样子? 生：是一条直线。 师：你确定是一条直线吗? 生：是一条直线去掉一个点 师：为什么? 生：定义域中x不能取到0。 师：我们研究函数一般先看函数的定义域。 师：我们可以先研究 的情况，你打算研究 为哪些值? 【设计意图】引导学生思考如何选取 的研究起来比较方便，一般学生会选择 为1,2,3来进行研究，实际操作中因为笔者的课堂利用了图形计算器，也可以让学生多取一些值，借助于图形计算器让学生绘制更多幂函数的图像，从而概括得到一般幂函数的图像与性质，这样学生的学*自主性更强，教师可以减少一些介入。 幂函数是学生在系统学*了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学*指数函数和对数函数的图象和性质的学*经历，在学*过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学*。本节通过实例，让学生认识到幂函数是一种重要的函数模型，通过研究xx 等函数的图象和性质，让学生认识到幂函数的图像都经过第一象限，在第一象限内，从下往上幂指数越来越大；当幂指数小于零时，图像是双曲线；当幂指数大于零小于1时，图像是上凸的；当幂指数大于1时，图像是下凸的。在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质。 学生在初中已学*了三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。所以本人建议，逐个画出五个函数的图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究，得到各自的性质，从而再归纳出幂函数的基本性质。 学*中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。 1、总体设计说明 幂函数是函数教学的最后一个函数，在通过学*了指数函数与对数函数之后，同学们已经基本掌握了研究函数的一般方法，因此幂函数是交给学生自主研究的一个重要的契机。函数的学*，目的在于通过对几个基本初等函数的研究让学生掌握研究一个陌生函数的方法。 基于以上认识，确定本节课的教学目标如下 (1)引导学生从具体实例中概括典型特征，形成幂函数的概念，并用数学符号表示。 (2)运用数学结合的思想，让学生经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，运动研究函数的一般方法，掌握幂函数的图像特征与性质。 (3)能够利用幂函数的性质比较两个数的大小 教学重点与难点如下 教学重点：通过让学生经历几个特殊幂函数的研究过程，抽象概括幂函数的图像与性质 教学难点：根据具体的幂函数的图像与性质归纳出一般幂函数的图像与性质 本节课的.教学采用开放式的自主学*方式，通过引导学生对几个具体的幂函数的研究让学生归纳出一般幂函数的图像与性质。 本节课的教学过程分为三个阶段：一是概念建构;二是实验探究;三是性质应用 2、教学过程剖析 2.1创设情境 建构概念 问题1 (1)正方形的边长a与面积S之间是函数关系吗? (2)正方体的边长a与体积V之间是函数关系吗? 【设计意图】 从实际的问题引入，让学生感受幂函数与实际的联系，初步感受幂函数 学生找到两个变量之间的函数关系，并给出函数的解析式： 和 。 师：我们把形如 的函数称为幂函数。 直接给出定义，这里其实可以让学生再举几个类似的函数的例子，通过多个实例再让学生抽象幂函数的定义会更好。 师：我们研究问题一般是从特殊到一般，具体到抽象的一个过程，因此我们可以先研究几个特殊的幂函数，比如最特殊 ，图像长什么样子? 生：是一条直线。 师：你确定是一条直线吗? 生：是一条直线去掉一个点 师：为什么? 生：定义域中x不能取到0。 师：我们研究函数一般先看函数的定义域。 师：我们可以先研究 的情况，你打算研究 为哪些值? 【设计意图】引导学生思考如何选取 的研究起来比较方便，一般学生会选择 为1,2,3来进行研究，实际操作中因为笔者的课堂利用了图形计算器，也可以让学生多取一些值，借助于图形计算器让学生绘制更多幂函数的图像，从而概括得到一般幂函数的图像与性质，这样学生的学*自主性更强，教师可以减少一些介入。 ——函数的性质教案范文五份 二次函数的性质与图像(第2课时) 一 学*目标： 1、 掌握二次函数的图象及性质; 2、 会用二次函数的图象与性质解决问题; 学*重点：二次函数的性质; 学*难点：二次函数的性质与图像的应用; 二 知识点回顾： 函数 的性质 函数 函数 图象 a0 性质 三 典型例题： 例 1：已知 是二次函数，求m的值 例 2：(1)已知函数 在区间 上为增函数，求a的范围; (2)知函数 的单调区间是 ，求a; 例 3：求二次函数 在区间[0,3]上的最大值和最小值; 变式：(1)已知 在[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。 (2)已知 在区间[0，1]内有最大值-5，求a。 (3)已知 ，a0，求 的最值。 四、 限时训练： 1 、如果函数 在区间 上是增函数，那么实数a的取值 范围为 B A 、a-2 B、a-2 C、a-6 D、B、a-6 2 、函数 的定义域为[0，m]，值域为[ ，-4]，则m的取值范围是 A、 B、 C、 D、 3 、定义域为R的二次函数 ，其对称轴为y轴，且在 上为减函数，则下列不等式成立的是 A、 B、 C、 D、 4 、已知函数 在[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A、 B、 C、 D、 5、 函数 ，当 时是减函数，当 时是增函数，则 f(2)= 6、 已知函数 ，有下列命题： ① 为偶函数 ② 的图像与y轴交点的纵坐标为3 ③ 在 上为增函数 ④ 有最大值4 7、已知 在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值。 8、已知 在[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。 9、已知函数 ，求a的取值范围使 在[-5，5]上是单调函数。 10、设函数 ，当 时 a恒成立，求a的取值范围。 教学目标 【知识与技能】 使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 【过程与方法】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. 重点难点 【重点】 使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 【难点】 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么? (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.) 2.画函数图象的一般步骤是什么? 一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标*面中描点(x,y));(3)连线(用*滑曲线). 3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质? (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.) 二、新课教授 【例1】 画出二次函数y=x2的图象. 解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值. (2)描点:根据上表中x,y的数值在*面直角坐标系中描点(x,y). (3)连线:用*滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示. 思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题: (1)二次函数y=x2的图象是什么形状? (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 师生活动: 教师引导学生在*面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价. 函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2. 由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象. 解:分别填表,再画出它们的图象. 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 师生活动: 教师引导学生在*面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价. 抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大. 探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。 师生活动: 学生在*面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨. 学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形. 抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大. 探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢? 师生活动: 学生在*面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳. 教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨. 学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形. 抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称. 教师引导学生小结(知识点、规律和方法). 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大. 从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a0,当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小. 三、巩固练* 1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=时,y有最值,是. 【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4 2.当m≠时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数. 【答案】1 3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=. 【答案】-3或3 -12 4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=,b=. 【答案】 12 5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为. 【答案】y=-2x2 6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是() A.y=x2B.y=x2 C.y=-2x2 D.y=-x2 【答案】C 7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是() A.y=x2 B.y=4x2 C.y=-2x2 D.无法确定 【答案】A 8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是() A.两条抛物线关于x轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 C.两条抛物线关于y轴对称 D.两条抛物线的交点为原点 【答案】C 四、课堂小结 1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数. 2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大. 3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来. 教学反思 本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练*探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练*归纳总结. 教材分析 在函数教学中，我们不仅要在教会函数知识上下功夫，而且还应该追求解决问题的“常规方法”——基本函数知识中所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行函数教学。 在函数的教学中，应突出“类比”的思想和“数形结合”的思想。 1 ．注重“类比教学” 在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学*方法的传授，达到对后续知识的学*产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由 “ 学会 ” 到 “ 会学 ” ，真正实现 “ 教是为了不教 ” 的目的． 2. 注重“数学结合”的教学 数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。 （ 1 ）让学生经历绘制函数图象的具体过程。 （ 2 ）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。 （ 3 ）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。 知识技能 目标 1、理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系; 2、会选择两个合适的点画出一次函数的图象； 3、掌握一次函数的性质. 过程与方法目标 1、通过研究图象，经历知识的归纳、探究过程；培养学生观察、比较、概括、推理的能力； 2、通过一次函数的图象总结函数的性质，体验数形结合法的应用，培养推理及抽象思维能力。 情感态度目标 1、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美； 2、在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。 教学重点 一次函数的图象和性质。 教学难点 由一次函数的图像归纳得出一次函数的性质及对性质的理解。 一、内容及其解析 (一)内容：指数函数的性质的应用。 (二)解析：通过进一步巩固指数函数的图象和性质，掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数的性质：定义域、值域、单调性，最值等性质。 二、目标及其解析 (一)教学目标 指数函数的图象及其性质的应用; (二)解析 通过进一步掌握指数函数的图象和性质，能够构建指数函数的模型来解决实际问题;体会指数函数在实际生活中的重要作用，感受数学建模在解题中的作用，提高学生分析问题与解决问题的能力。 三、问题诊断分析 解决实际问题本来就是学生的一个难点，并且学生对函数模型也不熟悉，所以在构建函数模型解决实际问题是学生的一个难点，解决的方法就是在实例中让学生加强理解，通过实例让学生感受到如何选择适当的函数模型。 四、教学过程设计 探究点一：*移指数函数的图像 例1：画出函数 的图像，并根据图像指出它的单调区间. 解析：由函数的解析式可得： 其图像分成两部分，一部分是将 (x-1)的图像作出，而它的图像可以看作 的图像沿x轴的负方向*移一个单位而得到的，另一部分是将 的图像作出，而它的图像可以看作将 的图像沿x轴的负方向*移一个单位而得到的. 解：图像由老师们自己画出 变式训练一：已知函数 (1)作出其图像; (2)由图像指出其单调区间; 解：(1) 的图像如下图： (2)函数的增区间是(-，-2]，减区间是[-2，+). 探究点二：复合函数的性质 例2：已知函数 (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; 解析：求定义域注意分母的范围，判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。 解：(1)要使函数有意义，须 -1 ，即x 1，所以，定义域为(- ，0) (0，+ ). (2)变式训练二：已知函数 ,试判断函数的奇偶性; 简析：∵定义域为 ,且 是奇函数; 探究点三 应用问题 例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的 84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 【解】 设该物质的质量是1,经过 年后剩留量是 . 经过1年,剩留量 变式：储蓄按复利计算利息，若本金为 元，每期利率为 ，设存期是 ，本利和(本金加上利息)为 元. (1)写出本利和 随存期 变化的函数关系式; (2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息. 【解】 (1)已知本金为 元,利率为 则: 1期后的本利和为 2期后的本利和为 期后的本利和为 (2)将 代入上式得 六.小结 通过本节课的学*，本节课应用了指数函数的性质来解决了什么问题?如何构建指数函数模型，解决生活中的实际问题? 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维*惯. 【情感态度】 通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画y=ax2(a＞0)的图象. 2.理解,掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程. 一、情境导入，初步认识 问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢? 问题2 如何用描点法画一个函数图象呢? 【教学说明】 ①略； ②列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知 探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象. 画二次函数y=ax2的图象. 【教学说明】 ①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学. ②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区. 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势. 误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用*滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止. ——《函数的概念》教案3篇 一、教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 3、情态与价值，使学生感受到学*函数的必要性的重要性，激发学*的积极性。 二、教学重点与难点： 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2、教学用具：投影仪. 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1、复*初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈a． 其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示． （4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ 通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=(k≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。 师：归纳总结 今天我说课的内容是函数的*代定义也就是函数的第一课时内容。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学*，所以函数的第一课时非常的重要。 2、教学目标及确立的依据： 教学目标： （1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的*代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。 （2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。 （3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 教学目标确立的依据： 函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。 3、教学重点难点及确立的依据： 教学重点：映射的概念，函数的*代概念、函数的三要素及函数符号的理解。 教学难点：映射的概念，函数*代概念，及函数符号的理解。 重点难点确立的依据： 映射的概念和函数的*代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以*年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的*代定义及函数符号的理解与运用上。 二、教材的处理： 将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学*热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。 三、教学方法和学法 教学方法：讲授为主，学生自主预*为辅。 依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。 四、教学程序 一、课程导入 通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。 例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？ 二.新课讲授： （1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。 （2）巩固练*课本52页第八题。 此练*能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。 例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的*代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。 并把函数的*代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。 再以让学生判断的方式给出以下关于函数*代定义的注意事项： 2.函数是非空数集到非空数集的映射。 3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。 4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。 5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。 6.“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。 三.讲解例题 例1.问y=1（x∈A）是不是函数？ 解：y=1可以化为y=0+1 画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。 [注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。 四.课时小结： 1.映射的定义。 2.函数的*代定义。 3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。 4.函数*代定义的五大注意点。 五.课后作业及板书设计 书本P51*题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。 预*函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。 托马斯说：“函数概念是*代数学思想之花”。生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。 函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如*所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。 二、学生学*情况分析 函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段： (一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数; (二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学*典型的对、指、幂和三解函数; (三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。 1.有利条件 现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的.，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。 初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。 2.不利条件 用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。 三、教学目标分析 课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学*用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 1.知识与能力目标： ⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性; ⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系; ⑶会求简单函数的定义域和值域 2.过程与方法目标： ⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型; ⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用. 3.情感、态度与价值观目标： 感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。 四、教学重点、难点分析 1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数; 重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。 突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。 2.教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念;第二：符号“y=f(x)”的含义的理解. 难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。 ——对数函数教学反思实用10篇 “对数函数”的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质；第二部分为对数函数的应用。“对数函数”第一部分是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数作好准备。 在讲解对数函数的定义前，复*有关指数函数知识及简单运算，然后由实例引入对数函数的概念，然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。 大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学*积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的`主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学*积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学*方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 为了调动学生学*的积极性，使学生变被动学*为主动愉快的学*。教学中我引导学生从实例出发启发出指数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学*兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 “对数函数”的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质；第二部分为对数函数的应用。“对数函数”第一部分是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数作好准备。 在讲解对数函数的定义前，复*有关指数函数知识及简单运算，然后由实例引入对数函数的'概念，然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。 大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学*积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学*积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学*方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 为了调动学生学*的积极性，使学生变被动学*为主动愉快的学*。教学中我引导学生从实例出发启发出指数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学*兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 这节课讲的课题是对数函数及其性质。对数函数及其性质是人教版A版数学必修一的内容。 通过这节课的教学，我主要有以下三点收获： 授课的致用性： 大家往往固有的潜意识是数学枯燥无味，如果将来不搞科学研究，学之无用。本人要利用一切可以利用的数学课告诉大家，基础数学是提高国民基本科学常识的必备武器。那么，对数函数的学*则是对历史文物研究的基础知识。当下的国民，生活质量稳步提高，假日旅游已经成为常态，我们将来的国民不能再是只是游玩，而是懂道的欣赏。 碳14的对数公式 则是今天导课的重要兴趣吸引点。 信息技术的应用 多媒体教学已经成为常态教学手段，几何画板的动态展示已经为学生展示了直观的对数函数底数真数改变的图像变化。当然辅助教学手段是在学生的导学案上有*题和绘图两种手动跟进。 作业布置的探索性尝试 （1）上百度，知乎查阅考古年代的推断方法及碳14的相关应用. （2）周末看一部考古相关的电影或纪录片。通过这种作业布置方式的尝试，让学生体会教改绝对不是一句空话，普通教师已经在行动。 当然，本节课还是有很多没有想到。也有三点。 1、内容的繁多性 总是认为本节课内容简单，要多讲一点，把可能的题型都要讲到，犯了大多数教龄多年的通病———经验式授课。导致本节课结束时有些许的时间紧张。 2、师生互动的简单重复 发挥学生的主观能动性一直是我们追求的，所以师生互动是很重要的一个展示环节。但是我们还只是简单的小组交流，板书展示。还是得开动脑筋，多些互动样式。 3、授课中的德育环节 其实本节课教学中我还是在导课过程，以及作业布置中体现出了德育的部分情节。但是还是远远不够，不能因为数学课的特殊性就可以忽略德育。润物细无声，潜移默化的影响才是为人师应该具备的素养。培养品德高尚的社会主义新人是目标，我辈仍需努力。 对数函数的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质;第二部分为对数函数的应用。对数函数是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数以及对数函数的应用作好准备。 在教学过程中，我类比指数函数图象和性质的研究，研究了对数函数图象和性质。同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程。我用了三节课就对数函数的`图象和性质，图象和性质的应用进行讲解。但是从作业和课堂效果看来。同学们没有指数函数的性质和图象掌握的好。特反思如下： 1、学生对对数函数概念的理解及对数的运算不过关。学生在做这些运算时有时不能灵活运用公式例如换底公式，有时学生会想当然地自己“发明”公式。导致部分题目出现运算错误或不会。 2、在利用对数函数的单调性比较两个对数式的大小书写格式不规范，因此在解题的过程中就把真数和底数混乱了，这说明同学们用函数的观点解决问题的思想方法还没形成。 3、在解有关求定义域的问题时，学生不能很好的掌握底数a的取值范围以及真数必修大于0. 4、同学们对对数与指数的互化不是很熟练。导致有关指数与对数互化题目出现错误。尤其是解决有关对数和指数混合式子的有关计算时困难很大，问题最多。还有在解决有关对数型函数定义域问题时，更不会用对数函数的单调性去解决。 以上这些原因我通过认真的反思，同时参考学生提出的意见，决定讲两节*题课，针对学生存在的共性问题解决，找出他们的盲点，同时加强练*力度。从练*中发现问题，再通过系统讲解，直到绝大部分学生理解掌握为止。 对数函数的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质;第二部分为对数函数的应用。对数函数是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数以及对数函数的应用作好准备。 在教学过程中，我类比指数函数图象和性质的研究，研究了对数函数图象和性质。同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程。我用了三节课就对数函数的图象和性质，图象和性质的应用进行讲解。但是从作业和课堂效果看来。同学们没有指数函数的性质和图象掌握的好。特反思如下： 1、学生对对数函数概念的`理解及对数的运算不过关。学生在做这些运算时有时不能灵活运用公式例如换底公式，有时学生会想当然地自己“发明”公式。导致部分题目出现运算错误或不会。 2、在利用对数函数的单调性比较两个对数式的大小书写格式不规范，因此在解题的过程中就把真数和底数混乱了，这说明同学们用函数的观点解决问题的思想方法还没形成。 3、在解有关求定义域的问题时，学生不能很好的掌握底数a的取值范围以及真数必修大于0. 4、同学们对对数与指数的互化不是很熟练。导致有关指数与对数互化题目出现错误。尤其是解决有关对数和指数混合式子的有关计算时困难很大，问题最多。还有在解决有关对数型函数定义域问题时，更不会用对数函数的单调性去解决。 以上这些原因我通过认真的反思，同时参考学生提出的意见，决定讲两节*题课，针对学生存在的共性问题解决，找出他们的盲点，同时加强练*力度。从练*中发现问题，再通过系统讲解，直到绝大部分学生理解掌握为止。 “对数函数”的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质；第二部分为对数函数的应用。“对数函数”第一部分是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数作好准备。 在讲解对数函数的定义前，复*有关指数函数知识及简单运算，然后由实例引入对数函数的概念，然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。 大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学*积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学*积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学*方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的.非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 为了调动学生学*的积极性，使学生变被动学*为主动愉快的学*。教学中我引导学生从实例出发启发出指数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学*兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 “对数函数”的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质;第二部分为对数函数的应用。“对数函数”第一部分是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数作好准备。 在讲解对数函数的定义前，复*有关指数函数知识及简单运算，然后由实例引入对数函数的概念，然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。 大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐;同时学生学好数学的自信心不强，学*积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学*积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的`学*方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 为了调动学生学*的积极性，使学生变被动学*为主动愉快的学*。教学中我引导学生从实例出发启发出指数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学*兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 “对数函数”的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质；第二部分为对数函数的应用。“对数函数”第一部分是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数作好准备。 在讲解对数函数的定义前，复*有关指数函数知识及简单运算，然后由实例引入对数函数的概念，然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。 大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学*积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的'求知欲和学*积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学*方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 为了调动学生学*的积极性，使学生变被动学*为主动愉快的学*。教学中我引导学生从实例出发启发出指数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学*兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 “对数函数”的教学共分两个部分完成。第一部分为对数函数的定义，图像及性质;第二部分为对数函数的应用。“对数函数”第一部分是在学*对数概念的基础上学*对数函数的概念和性质，通过学*对数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的.理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学*对数函数作好准备。 在讲解对数函数的定义前，复*有关指数函数知识及简单运算，然后由实例引入对数函数的概念，然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。 大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐;同时学生学好数学的自信心不强，学*积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学*积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学*方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 为了调动学生学*的积极性，使学生变被动学*为主动愉快的学*。教学中我引导学生从实例出发启发出指数函数的定义，在概念理解上，用步步设问、课堂讨论来加深理解。在对数函数图像的画法上，我借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学*兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 这节课讲的课题是对数函数及其性质。对数函数及其性质是人教版A版数学必修一的内容。 通过这节课的教学，我主要有以下三点收获： 授课的致用性： 大家往往固有的潜意识是数学枯燥无味，如果将来不搞科学研究，学之无用。本人要利用一切可以利用的数学课告诉大家，基础数学是提高国民基本科学常识的必备武器。那么，对数函数的学*则是对历史文物研究的基础知识。当下的国民，生活质量稳步提高，假日旅游已经成为常态，我们将来的国民不能再是只是游玩，而是懂道的欣赏。 ——二次函数教案实用十份 学*目标： 1、能够分析和表示变量间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。 2、用三种方式表示变量间二次函数关系，从不同侧面对函数性质进行研究。 3、通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力 学*重点： 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。 能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。 学*难点： 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。 学*过程： 一、学前准备 函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下： x（千克） 0 0。5 1 1。5 2 2。5 3 y（元） 0 1 2 3 4 5 6 这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数。用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉。这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？ 二、探究活动 （一）合作探究： 矩形的周长是20cm，设它一边长为 ，面积为 cm2。 变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？ 交流完成： （1）一边长为x cm，则另一边长为 cm，所以面积为： 用函数表达式表示： =________________________________。 （2） 表格表示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10— （3）画出图象 讨论：函数的图象在第一象限，可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，思考原因 （二）议一议 （1）在上述问题中，自变量x的取值范围是什么？ （2）当x取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你描述一下y随x的变化而变化的情况。 点拨：自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围。请大家互相交流。 （1）因为x是边长，所以x应取 数，即x 0，又另一边长（10—x）也应大于 ，即10—x 0，所以x 10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是 。 （2）当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y=—x2+10x化成顶点式。当x=— 时，函数y有最大值y最大= 。当x= 时，长方形的面积最大，最大面积是25cm2。 可以通过观察图象得知。也可以代入顶点坐标公式中求得。。 （三）做一做：学生独立思考完成P62，P63的函数表达式，表格，图象问题 （1）用函数表达式表示：y=________。 （2）用表格表示： （3）用图象表示： 三、学*体会 本节课你有哪些收获？你还有哪些疑问？ 四、自我测试 1、把长1。6米的铁丝围成长方形ABCD，设宽为x（m），面积为y（m2）。则当最大时，所取的值是（ ） A 0。5 B 0。4 C 0。3 D 0。6 2、两个数的和为6，这两个数的积最大可能达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系。 3、把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和是多少？它们的面积和的最小值是多少？ （选作题）边长为12的正方形铁片，中间剪去一个边长为x（cm）的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3． 会*移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，数学教案－二次函数。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 20．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在*面与墙面垂直，（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（ ） （A）2米 （B）3米 （C）4米 （D）5米 三．解答下列各题（21题6分，22----25每题4分，26-----28每题6分，共40分） 21．已知：直线ｙ＝ｘ＋ｋ过点A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）判断点B（－2，－6）是否在这条直线上；（3）指出这条直线不过哪个象限。 22．已知抛物线经过A（0，3），B（4,6）两点，对称轴为ｘ＝， （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 试证明这条抛物线与X轴的两个交点中，必有一点C，使得对于ｘ轴上任意一点D都有AC＋BC≤AD＋BD。 23．已知：金属棒的长1是温度ｔ的一次函数，现有一根金属棒，在O℃时长度为200ｃｍ，温度提高1℃，它就伸长0.002ｃｍ。 （1） 求这根金属棒长度ｌ与温度ｔ的函数关系式； （2） 当温度为100℃时，求这根金属棒的长度； （3） 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6ｃｍ时，求这时金属棒的温度。 24．已知ｘ1，ｘ2，是关于ｘ的方程ｘ2－3ｘ＋ｍ＝0的两个不同的实数根，设ｓ＝ｘ12＋ｘ22 （1） 求S关于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范围； （2） 当函数值ｓ＝7时，求ｘ13＋8ｘ2的值； 25．已知抛物线ｙ＝ｘ2－（ａ＋2）ｘ＋9顶点在坐标轴上，求ａ的值。 ２６、如图，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截取ＡＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ｘ，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求： （１） 四边形ＣＧＥＦ的面积Ｓ关于ｘ的函数表达式和Ｘ的取值范围； （２） 当ｘ为何值时，Ｓ的数值是ｘ的４倍。 ２７、国家对某种产品的税收标准原定每销售１００元需缴税８元（即税率为８％），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品ｍ吨，每吨２０００元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每１００元缴税（８－ｘ）元（即税率为（８－ｘ）％），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加２ｘ％。 （１） 写出调整后税款ｙ（元）与ｘ的函数关系式，指出ｘ的取值范围； （２） 要使调整后税款等于原计划税款（销售ｍ吨，税率为８％）的７８％，求ｘ的值． ２８、已知抛物线ｙ＝ｘ２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）与ｙ轴的交点为Ａ，与ｘ轴的交点为Ｂ，Ｃ（Ｂ点在Ｃ点左边） （１） 写出Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标； （２） 设ｍ＝ａ２－２ａ＋４试问是否存在实数ａ，使△ＡＢＣ为Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，请说明理由； （３） 设ｍ＝ａ２－２ａ＋４，当∠ＢＡＣ最大时，求实数ａ的值。 *题2: 一．填空（20分） 1．二次函数=2（x - ）2 +1图象的对称轴是 。 2．函数y= 的自变量的取值范围是 。 3．若一次函数y=（m-3）x+m+1的图象过一、二、四象限，则的取值范围是 。 4．已知关于的二次函数图象顶点（1，-1），且图象过点（0，-3），则这个二次函数解析式为 。 5．若y与x2成反比例，位于第四象限的一点P（a，b）在这个函数图象上，且a,b是方程x2-x -12=0的两根，则这个函数的关系式 。 6．已知点P（1，a）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，其中a=m2+2m+3（m为实数），则这个函数图象在第 象限。 7． x,y满足等式x= ，把y写成x的函数 ，其中自变量x的取值范围是 。 8．二次函数y=ax2+bx+c+（a 0）的图象如图，则点P（2a-3，b+2） 在坐标系中位于第 象限 9．二次函数y=（x-1）2+（x-3）2，当x= 时，达到最小值 。 10．抛物线y=x2-（2m-1）x- 6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右*移 个单位。 二．选择题（30分） 11．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标（ ） （A）（0，8） （B）（0，-8） （C）（0，6） （D）（-2，0）（-4，0） 12．抛物线y=- （x+1）2+3的顶点坐标（ ） （A）（1，3） （B）（1，-3） （C）（-1，-3） （D）（-1，3） 13．如图，如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是（ ） 14．函数y= 的自变量x的取值范围是（ ） （A）x 2 （B）x<2 x="">- 2且x 1 （D）x 2且x �C1 15．把抛物线y=3x2先向上*移2个单位，再向右*移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ） （A）=3（x+3）2 -2 （B）=3（x+2）2+2 （C）=3（x-3）2 -2 （D）=3（x-3）2+2 16．已知抛物线=x2+2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程 x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（ ） （A）有两个正根 （B）有两个负数根 （C）有一正根和一个负根 （D）无实根 17．函数y=- x的图象与图象y=x+1的交点在（ ） （A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 18．如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象，如图， 则代数式b+c-a与0的关系（ ） （A）b+c-a=0 （B）b+c-a>0 （C）b+c-a<0 （D）不能确定 19．已知：二直线y=- x +6和y=x - 2，它们与y轴所围成的三角形的面积为（ ） （A）6 （B）10 （C）20 （D）12 20．某学生从家里去学校，开始时匀速跑步前进，跑累了后，再匀速步行余下的路程，初中数学教案《数学教案－二次函数》。下图所示图中，横轴表示该生从家里出发的时间t，纵轴表示离学校的路程s，则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是（ ） 三．解答题（21~23每题5分，24~28每题7分，共50分） 21．已知抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是- ； （1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。 22、如图抛物线与直线 都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=―1，与x轴交于点C,且∠ABC=90°求： (1)直线AB的解析式； (2)抛物线的解析式。 23、某商场销售一批名脾衬衫，*均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场*均每天可多售出2件： (1)若商场*均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元， (2)每件衬衫降价多少元时，商场*均每天盈利最多? 24、已知：二次函数 和 的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。 25、如图，已知�SABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为{―1，0)，求 (1)B，C，D三点的坐标； (2)抛物线 经过B，C，D三点，求它的解析式； (3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。 26 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超100度 时，按每度0．57元计费：每月用电超过100度时．其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0．50元计费。 (1)设月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y关于x的函数 关系式； (1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式； (3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点： ①当�SAＢＰ是直角三角形时，求b的值； ②当�SABＰ是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程) 28、已知二次函数的图象 与x轴的交点为A，B(点Ｂ在点A的右边)，与y轴的交点为C； (1)若�SABC为Rt�S，求m的值； (1)在�SABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值； (3)设�SABC的面积为S，求当m为何值时，s有最小值．并求这个最小值。 教学目标： 1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念； 2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性； 3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。 教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。 教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。 教学过程设计： 一. 创设情景、建模引入 我们已学*了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子： 1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式 答：S=πR2. ① 2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系 答：S=L（30-L）=30L-L2 ② 分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？ S是否是R、L的一次函数？ 由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？ 答：二次函数。 这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题） 二. 归纳抽象、形成概念 一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ， 那么，y叫做x的二次函数. 注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数. 练*：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。 2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。 （若学生考虑不全，教师给予补充。如： ； ； ； 的形式。） （通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练*培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。） 由前面一次函数的学*，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。 （在这里指出学*函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学*；进一步培养终身学*的能力。） 三. 尝试模仿、巩固提高 让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究 1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？ 请同学们画出函数y=x2的图象。 （学生分别画图，教师巡视了解情况。） 教学目标： 会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。 重点难点： 重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。 难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。 教学过程： 一、例题精析，强化练*，剖析知识点 用待定系数法确定二次函数解析式． 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 （1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。 （2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。 （3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。 （4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。 学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。 教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0） （2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0） 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2） 强化练*：已知二次函数的图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。 （1）若m为定值，求此二次函数的解析式； （2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。 二、知识点串联，综合应用 例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交 教学目标： 让学生经历根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。 重点：二次函数表达式的形式的选择 难点：各种隐含条件的挖掘 教法：引导发现法 教学过程： （一）诊断补偿，情景引入： ——《函数与方程》教案范本五份 学*目标(学*重点)： 1. 针对函数及其图象一章，查漏补缺，答疑解惑; 2. 一次函数应用的复*. 补充例题： 例1.如图，lA lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系 (1)B出发时与A相距 千米; (2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 小时; (3)B出发后 小时与A相遇; (4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式; (5)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米，在图中表示出这个相遇点C. 例2.在*面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P分别作x轴, y的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点. (1)判断点M(1,2),N(4,4)是否为和谐点，并说明理由; (2)若和谐点P(a,3)在直线y=-x+b(b为常数)上，求点a, b的值. 例3.在*面直角坐标系中，一动点P(x，y)从M(1，0)出发，沿由A(-1，1)，B(-1，-1)，C(1，-1)，D(1，1)四点组成的正方形边线(如图①)按一定方向运动.图②是P点运动的路程s(个单位)与运动时间 (秒)之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分. (1)求s与t之间的函数关系式. (2)与图③相对应的P点的运动路径是： ;P点出发 秒首次到达点B; (3)写出当38时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象. 课后续助： 1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费. (1)写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式 ①用水量小于等于3000吨 ;②用水量大于3000吨 . (2)某月该单位用水3200吨，水费是 元;若用水2800吨，水费 元. (3)若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨? 2.某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示. (1)有月租费的收费方式是 (填①或②)，月租费是 元; (2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式; (3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议. 3.某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程， 开始时风暴*均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为*均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速*均每小时减小1千米/时，最终停止。 结合风速与时间的图像，回答下列问题： (1)在y轴( )内填入相应的数值; (2)沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时? (3)求出当x25时，风速y(千米/时)与时间x(小时)之间的函数关系式. (4)若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间? 4.如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身**是指距d的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据. 指距d/cm 20 21 22 23 身**/cm 160 169 178 187 (1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围) (2)某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少? 5.小***驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示. (1)请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升? (2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式; (3)已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用?请说明理由. 第一课时： 3.1.1 教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件. 教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件. 教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数. 教学过程： 一、复*准备： 思考：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？ .二、讲授新课： 1、探讨函数零点与方程的根的关系： ① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点? 方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？ 方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？ ② 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： → 推广到y=f(x)呢？ 一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标. ③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ④ 讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系？ ——《函数概念》说课稿优选【五】篇 一、教材分析 函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学*，无疑对学生今后的学*起着深刻的影响。 本节《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。也为进一步学*函数这一章的其它内容提供了方法和依据。 二、重难点分析 根据对上述对教材的分析及新课程标准的要求，确定函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点。 三、学情分析 1、有利因素：一方面学生在初中已经学*了变量观点下的函数定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面在本书第一章学生已经学*了集合的概念，这为学*函数的现代定义打下了基础。 2、不利因素：函数在初中虽已讲过，不过较为肤浅，本课主要是从两个集合间对应来描绘函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高，学生学起来有一定的难度。 四、目标分析 1、理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义域、值域。 2、通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。 3、通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。 五、教法学法 本节课的教学以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者，我一方面精心设计问题情景，引导学生主动探索。另一方面，依据本节为概念学*的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最*发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学*过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 学法方面，学生通过对新旧两种函数定义的对比，在集合论的观点下初步建构出函数的概念。在理解函数概念的基础上，建构出函数的定义域、值域的概念，并初步掌握它们的求法。 六、教学过程 （一）创设情景，引入新课 情景1：提供一张表格，把上次运动会得分前10的情况填入表格，我报名次，学生提供分数。 名次（得分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 情景2：汽车的行驶速度为时过早80千米/小时，汽车行驶的距离y与行驶时间x之间的关系式为：y=80x 情景3：某市一天24小时内的气温变化图：（图略） 提问（1）：这三个例子中都涉及到了几个变化的量？（两个） 提问（2）：当其中一个变量取值确定后，另一个变量将如何？（它的值也随之唯一确定） 提问（3）：这样的关系在初中称之为什么？（函数）引出课题 [设计意图]在创设本课开头情境1、2的时候，我并没有运用书中的前两个例子。第一个例子我改成提供给学生一张运动会成绩统计单。是为了创设和学生或者生活相*的情境，从而引起学生的兴趣，调节课堂气氛，引人入胜，第二个例子我改成一道简单的速度与时间问题，是因为学生对重力加速度的问题还不是很熟悉。同时这两个例子并没有改变课本用三个实例分别代表三种表示函数方法的意图。这样学生可以从熟悉的情景引入，提高学生的参与程度。符合学生的认知特点。 （二）探索新知，形成概念 1、引导分析，探求特征 思考：如何用集合的语言来阐述上述三个问题的共同特征？ [设计意图]并不急着让学生回答此问，为引导学生改变思路，换个角度思考问题，进入本节课的重点。这里也是教师作为教学的引导者的体现，及时对学生进行指引。 提问（4）：观察上述三问题，它们分别涉及到了哪些集合？（每个问题都涉及到了两个集合，具体略） [设计意图]引导学生观察，培养观察问题，分析问题的能力。 提问（5）：两个集合的元素之间具有怎样的关系？（对应） 及时给出单值对应的定义，并尝试用输入值，输出值的概念来表达这种对应。 2、抽象归纳，引出概念 提问（6）：现在你能从集合角度说说这三个问题的共同点吗？ [设计意图]学生相互讨论，并回答，引出函数的概念。训练学生的归纳能力。 板书：函数的概念 上述一系列问题，始终在学生知识的“最*发展区”，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中，在学生心情愉悦的氛围中，突破本节课的重点。 3、探求定义，提出注意 提问（7）：你觉得这个定义中应注意哪些问题？ [设计意图]剖析概念，使学生抓住概念的本质，便于理解记忆。 4、例题剖析，强化概念 例1、判断下列对应是否为函数： [设计意图]通过例1的教学，使学生体会单值对应关系在刻画函数概念中的核心作用。 例2、（1）；（2）y=x-1；（3）； [设计意图]首先对求函数的定义域进行方法引导，偶次方根必需注意的地方，其次，通过（2）（3）两道题，强调只有对应法则与定义域相同的两个函数，才是相同的函数。而与函数用什么字母表示无关，进一步理解函数符号的本质内涵。 例3、试求下列函数的定义域与值域： [设计意图]让学体会理解函数的三要素。 5、巩固练*，运用概念 书本练*P24：1，2，3，4 6、课堂小结，提升思想 引导学生进行回顾，使学生对本节课有一个整体把握，将对学生形成的知识系统产生积极的影响。 七、教学评价 1、我通过对一系列问题情景的设计，让学生在问题解决的过程中体验成功的乐趣，实现对本课重难点的突破。 2、为使课堂形式更加丰富，也可将某些问题改成判断题。 3、在学生分析、归纳、建构概念的过程中，可能会出现理解的偏差，教师应给予恰当的梳理 4。本节课的起始，可以借助于多媒体技术，为学生创设更理想的教学情景。 尊敬的各位评委、老师们： 大家好！ 今天我说课的内容是《函数的概念》，选自人教版高中数学必修一第一章第二节。下面介绍我对本节课的设计和构思，请您多提宝贵意见。 我的说课有以下六个部分： 一、背景分析 1、学*任务分析 本节课是必修1第1章第2节的内容，是函数这一章的起始课，它上承集合，下引性质，与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容联系密切，是学好后继知识的基础和工具，所以本节课在数学教学中的地位和作用是至关重要的。 2、学情分析 学生在初中已经学*了函数的概念，初步具备了学*函数概念的基本能力，但函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应说很抽象，不易理解。 另外，通过对集合的学*，学生基本适应了有效教学的课堂模式，初步具备了小组合作、自主探究的学*能力。 基于以上的分析，我认为本节课的教学重点为：函数的概念以及构成函数的三要素； 教学难点为：函数概念的形成及理解。 二、教学目标设计 根据《课程标准》对本节课的学*要求，结合本班学生的情况，故而确立本节课的教学目标。 1、知识与技能（方面） 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 ——反比例函数复*课的说课稿实用五份 一、说教学设计意图 首先由学生尝试举出实际生活中某两个量出租反比例关系的例子，自然地引入利用所学的反比例函数来解决实际问题，在数学课上引用一个用“杠杆规律”的实际问题，一下子抓住学生的好奇心理。激发了他们的学*兴趣。利用了公元前3世纪古希腊科学家阿基米德发现的“杠杆定律”中力与力臂两个量的反比关系，将他们运用到用数学来解决问题，激发学生求知热情。也培养他们科学探索精神。 实际问题向数学问题他转化是解决问题的关键。教师有理有据地引学生通过反比例函数模型实现这一目的。让学生体会其中的转化思想，逐步掌握转化的方法。函数模型没有变，但两个量的角色发生变化，体会变与不变的思想。通过这种方法的学*，让学生学会归纳、总结所学的知识。使学生初步形成运用反比例函数解决实际问题的意识打好基础。 通过以学生身边熟悉的星海湖水利工程为实际问题创设练*题，让学生进一步加深对反比例函数的运用和理解，更深层次形成反比例函数模型来解决实际问题的意识，巩固和提高所学知识。给学生足够的时间和空间，为他们创造展示能力和应用所学知识的机会。 最后，通过小结，使学生把所学知识进一步内化、系统化。 二、说内容 本章的反比例函数的内容属于《全日制义务教育数学课程标准——数学》是在已经学*了*面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴。反比例函数是基本的函数之一，本章共分为两节，第17-2节的内容是如何用反比例函数解决实际问题或如何用反比例函数解释现实世界中的`一些现象。本节课主要涉及在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数。 三、说目标 本节课的目标是通过“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生能够从函数的观点来解决一些实际问题。教学重点：运用反比例函数解释生活中的一些规律，解决一些实际问题。教学难点：把实际问题利用反比例函数转化为数学问题加以解决。 四、说教法 本节课是实际问题与反比例函数的学*，我采用的教学方法是，要培养学生学*数学的积极性，并且精心引导学生通过反比例函数模型来实现解决实际问题。在这引导过程中让学生体会老师是如何将实际问题向数学问题转化的。 五、说学情 从学生初步接触函数所蕴含的“变化与对应”思想，至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有些遗忘，再加上我们的学生大多数都是外来务工子女，好的*惯没有养成，所以基础知识差。特别是分析能力和计算能力。在进行活动中可能达不到预期的效果。 六、说教学安排 活动一、创设情境，引入新课目的老师提出生活中遇到的问题，请学生帮助解决，激发学生的兴趣。 活动二、分析解决问题 目的与学生共同分析实际问题中的变量关系，引导学生利用反比例函数解决问题。 活动三、从函数的观点 进一步激发学生学*兴趣目的是引导学生利用“杠杆规律”培养科学探索精神。 活动四、巩固练* 目的通过课堂练*，提高学生运用反比例函数解决实际问题能力。 活动五、课堂小结 布置作业 目的归纳总结所学的知识，体会利用函数的观点解决实际问题。 一、 说教学内容： （一）、本课时的内容、地位及作用： 本课内容是华东师大版八年级（下）数学第十八章《函数及其图象》第四节《反比例函数》的第一课时，是继一次函数学*之后又一类新的函数－—反比例函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学*，函数、方程、不等式间关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学*中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。 （二） 、本课题的教学目标： 教学目标是教学的出发点和归宿。因此，我根据新课标的知识、能力和德育目标的要求，以学生的认知点，心理特点和本课的特点来制定教学目标： 1．知识目标 （1）、通过对实际问题的探究，理解反比例函数的意义。 （2）、体会反比例函数的不同表示法。 ( 3 )、会判别反比例函数。 2．能力目标 (1)、通过两个实际问题，培养学生勤于思考和分析归纳的能力。 (2)、在思考、归纳等过程中，发展学生的合情说理能力。 (3)、让学生会求反比例函数关系式 3．情感目标 (1)、通过已有的知识经验探索的过程，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的*惯。 (2)、将理论联系实际，让学生有学有所用的感性认识。 4、本课题的重点、难点和关键： 重点：反比例函数的意义； 难点：求反比例函数的解析式； 关键：如何由实际问题转化为数学模型。 二、 说教学方法： 本课将采用探究式教学，让学生主动去探索，并分层教学将顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决身边的实际问题。 由于学生才第一次接触函数，对一次函数尽管已经学*了，但对函数这部分内容不是十分熟练。因此，在教这节课时，要注意和一次函数，尤其是正比例函数与反比例函数的类比。引导学生从函数的意义、自变量的取值范围等方面辨明相应的差别，在学生探索过程中，让学生体会到在探索的途径和方法上与一次函数相似。 对于所设置的两个问题为学生所熟悉，尽量贴*学生生活，或者进入学生生活的.圈子里，让学生感受到亲切、自然，激发学生的学*兴趣，提高学生思考问题的积极主动性和解决问题的能力，从而培养对数学学科的浓厚兴趣，使部分学生由不爱学变得爱学。让学生真正体会到：生活处处皆数学，生活处处有函数。 三、 说学法指导： 课堂，只有宝贵的四十五分钟，有相当一部分学生很难驾驭，身不由已，注意力不能集中。针对这种情况，故意设置两个贴*生活的实例，让学生展开想象的翅膀，主动思考，相互探讨，学生互动，师生互动。在想象与探讨的互动中，迸发出思想的火花，寻求问题的答案――反比例函数的意义。 为了让学生对反比例函数的意义牢牢掌握和深刻理解，启发学生回忆正比例函数并与之相类比，从内容到形式，学生自主地体会出反比例函数的真正内涵。 在本课时的教学双边活动过程中，抓住初中学生的心理生理特点，尽量运用生动的语言，引发学生的兴趣，吸引他们的注意力；另一方面积极创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学*的主动性。 教师要善于捕捉学生的反馈信息，并能立即反馈给学生，矫正学生的学法和知识错误。力求体现以学生为主体，教师为主导的原则，在轻松愉快的氛围中，顺利地“消化”本节课的内容。同时，让学生体会到“理论来自于实践，而理论又反过来指导实践”的哲学思想。从而培养和提高学生分析问题和解决问题的能力. 四、 说教学程序： 1、 复*引入： 师生共同回忆前一阶段所学知识，再次强调函数的重要性，同时启开新的课题——反比例函数（教师板书），（若作业中存在普遍问题，应先纠正）。 2、 创设问题情景，激发学生的学*热情，培养学生遵纪守法的意识： 教师陈述本班小王发生的一个故事（问题1），故事的经过是这样的： 昨天下午3时许，小王的爸爸骑摩托车带着小王去了离家24公里的县城，因摩托车没有注册入户，被交警将车扣留，6点钟小王父子坐了小四轮按原路返回。 师问： （1）、在这个故事中，有几种交通工具？（生答：两种） （2）、两种交通工具的正常行驶速度一样吗？来去的路程一样吗？时间呢？（生答：不一样、一样、不一样） 师生共同探究，时间的变化是由速度的变化所引起，设时间为t,速度为v，则有 t=24/v 问题2、我校车棚工程已经启动，规划地基为36*方米的矩形，设一边长为x(米)，则另一边长y(米)与x(米)的函数关系式。 仿上一问题让学生分析变量关系，然后教师总结：依矩形面积可得 Xy=36 即y=36/x 3、 归纳得出结论： 一般地，形如y=k/x （k是常数，k不为0）的函数叫做反比例函数。 在此教师对该函数做些说明。 4、 例题讲解： 例1、下列函数关系中，哪些是反比例函数？ （1）、*行四边形面积是12*方厘米，它的一边是a厘米，这边上的高是h厘米，a与h的函数关系。 一、教材分析 本节是《反比例函数》的小结与复*课。函数本身是数学学*中的重要内容，而反比例函数又是基础函数。反比例函数是继一次函数学*之后又一类新的函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学*，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。 通过本节课对本章知识的复*，让学生进一步体会反比例函数的意义，了解反比例函数的图象，能根据图象和解析式进一步探索并理解反比例函数的性质，能用反比例函数解决某些简单的实际问题。因此，本节课的学*是学生对函数的概念、图象与性质一个再知和整合的过程。 二、 教学目标分析 根据课改“以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程”的精神。在教学设计上，我设想通过使用多媒体课件创设情境，在掌握反比例函数相关知识的同时激发学生的学*兴趣和探究欲望，引导学生积极参与和主动探索。因此把教学目标确定为： 1、知识与能力目标： （1）复*反比例函数概念、图象与性质的知识点，通过相应知识点的配套练*加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。 （2）能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式,会画出它的图象，并根据问题确定自变量的取值范围及增减性。 2、过程与方法目标：通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神。 3、情感态度与价值观目标：创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复*活动，激发学*兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法。 三、教学重点难点分析 由于本节课的学*是学生对函数的概念、图象与性质一个再知和整合的过程。可以帮助学生形成解决问题的一些基本策略，提高分析问题，解决问题的能力和发展他们的创新精神。所以我确定本节课的教学重点是进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用。教学难点是反比例函数性质的灵活运用。数形结合思想的应用。 四、教学方法分析 根据教材特点及学生的年龄特点、心理特征和认知水*，我采用合作交流、集体探究的.方法启发学生深入思考，主动探究，主动获取知识。同时注意与学生已有知识的联系，给学生充分的自主探索时间。通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“探究——讨论——交流——总结” 的学*活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示，操作，观察，练*等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 五、学法指导 本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、对比、归纳的思想方法。在对比和讨论中，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。因此在课堂上要采用积极引导学生主动参与，合作交流的方法组织教学，使学生真正成为教学的主体，体会参与的乐趣，成功的喜悦，感知数学的奇妙 六、教学设计的基本思路 （一）知识梳理：主要说明本章的内容由反比例函数的意义；反比例函数的图象与性质；利用反比例函数解决实际问题三大块组成。 （二）合作交流，解读探究 1.复*反比例函数概念及其等价形式。并设计了相应的配套练*：判断反比例函数并指出其中的K值；结合物理知识写函数关系式，体会数学知识来源于生活，考查学生对反比例函数系数及自变量的指数的掌握情况。 2.复*反比例函数的图象与性质，并用来解决问题。也设计了相应的配套练*：根据K值确定反比例函数所在象限及其一支（X>0）的增减性，根据函数关系式和给定自变量（函数值）求函数值（自变量的值）；由图像性质和K值的关系确定m的取值范围；用待定系数法求反比例函数解析式；根据函数增减性及所给函数图像上点的横坐标判断个点函数值的大小，难度较大，学生不易掌握。 3.综合运用：给出一次函数的图像y=ax+b与反比例函数y= 相交的示意图及交点M（2，m）、N（-1，-4）两点。求反比例函数和一次函数的解析式并根据图像写出反比例函数的值大于一次函数的值的X 的取值范围。此类题目在中考中常见。是一次函数和反比例函数的综合应用，主要用数形结合思想和待定系数法求解，可以提高学生的观察、分析、综合应用及合情推理能力。 （三）随堂练*：贯穿于整个课堂教学中，具体内容见课件。 （四）归纳总结： 由学生总结本节课所学*的主要内容： 1.反比例函数的意义； 2.反比例函数的图像与性质； 3数形结合思想 让学生通过知识性内容的小结，把课堂所学的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。 （五）布置作业 （六）课后反思： 1.在本课时的师生互动过程中，积极创造条件和机会，让学生发表见解，使他们有成功的学*体验，激发他们的学*兴趣，增强他们的自信心，提高他们学*的主动性。 2.尽量体现以学生为主体，教师为主导的原则，在轻松愉快的氛围中，顺利地“消化”本节课的内容。同时，让学生体会到“理论来自于实践，而理论又反过来指导实践”的哲学思想。从而培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.即时训练——巩固新知。为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，把配套练*中的*题熔入即时训练题中，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。 4.存在的问题：学生配合不够积极，积极回答问题的学生少，学生的积极性没有充分调动起来；对中下学生关注的太少；教师说的多，学生没有充分的时间讨论交流；课堂教学内容稍多，在规定时间内没有完成教学任务。 今天我要说的课题是义务教育人教版初中八年级十七章第一节“反比例函数”。我将从如下步骤进行。 一、说教材 1. 内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课，是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想。因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。 2.学情分析：对八年级学生来说，虽然他们已经对函数，正比例函数，一次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，但他们面对新的一次函数时，还可能存在一些思维障碍，如学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量，以及如何从事例中领悟和总结出反比例函数的概念，因此，本节课的难点是理解和领悟反比例函数的概念。 二、说教学目标 根据本人对《数学课程标准》的理解与分析，考虑学生已有的认知结构、心理特征，我把本课的目标定为： 1.从现实的情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。 2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。 三、说教法 本节课从知识结构呈现的角度看，为了实现教学目标，我建立了“创设情境→建立模型→解释知识→应用知识”的学*模式，这种模式清晰地再现了知识的生成与发展的过程，也符合学生的认知规律。于是，从教学内容的性质出发，我设计了如下的课堂结构：创设出电流、行程等情境问题让学生发现新知，把上述问题进行类比，导出概念，获得新知，最后总结评价、内化新知。 四、说学法 我认为学生将实际问题转化成函数的能力是有限的，所以我借助多媒体辅助教学，指导学生通过类比、转化、直观形象的观察与演示，亲身经历函数模型的转化过程，为学生攻克难点创造条件，同时考虑到本课的重点是反比例函数概念的教学，也考虑到概念教学要从大量实际出发，通过事例帮助完成定义。因此，我采用了“问题式探究法”的教法，利用多媒体设置丰富的问题情境，让学生的思维由问题开始，到问题深化，让学生的思维始终处于积极主动的状态，并随着问题的深入而跳跃。 五、说教学过程 (一)创设情境，发现新知 首先提出问题 问题1：小明同学用50元钱买学*用品，单价y(元)与数量x(件)之间的关系式是什么? 【设计意图及教法说明】 在课开头，我认为以一个简单的数字问题引入，目的是让学生在很快的时间里说出显而易见的答案，便于增强学生学好本课的自信心，使他们能愉快地进行新知的学*。 问题2：我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V， (1)你能用含有R的代数式表示I吗? (2)利用写出的关系式完成下表。 R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢? (3)变量I是R的`函数吗?为什么? 【设计意图及教法说明】 因为数学来源于生活，并服务于生活，问题2是一个与物理有关的数学问题，这样设计便于使学生把数学知识和物理知识相联系，增加学科的相通性，另外通过本题的学*，可以让学生在情境中体会变量之间的关系，问题2先让学生独立思考，然后再同桌交流，最后小组讨论并汇报，此问题中的(1)(2)问题比较简单，学生可以独立完成，但对于问题(3)，老师要给适当的指导。 问题2的深化：舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼，这样的效果是通过什么来实现的? 【设计意图及教法说明】 学生可以根据问题2以及学过的物理知识来解释这个问题，这样既增强学生学*新知的积极性，又达到了解决问题的目的。 问题3：京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的*均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么? 【设计意图及教法说明】 问题3是一个行程问题，先让学生独立思考、同桌讨论，最后列出正确的函数关系式，进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，为形成反比例函数的概念打基础。 (二)合作探究，获得新知 1.出示问题 想一想，你还能举出类似的例子吗? 【设计意图及教法说明】 这个环节目的在于让学生亲身经历观察、思考、抽象、概括、补充、完善的过程，让学生尝试用自己的语言说明他们的新发现，培养他们的归纳能力和自主探索与合作交流的良好学**惯，在这期间教师就是他们的合作者、引路人，边听、边问、边指导，初步形成反比例函数的概念。 2.启发学生建构新知 反比例函数的定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 反比例函数自变量不能为0! 反比例函数的一般形式：y= k/x(k为常数，k≠0) 反比例函数的变式形式：k=yx，x=k/y(k为常数，k≠0) 【设计意图及教法说明】 这种从不同的问题情境中抽象出相同的数学模型，再进行抽象得出概念的过程，并非教师所强加，而是学生通过自己分析走向概念，突破本节课的难点，使学生的自豪感和成功感在活动中得以提升，体现类比、转化、建模等数学思想，把本节课推向高潮。 (三)反馈练*，应用新知 根据学生认知的差异性，我设计了基础过关和拓展训练两类练*题。 1.基础过关 (1)下列函数的表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的k的值是多少? ①y=x/5 ②y=6x-1 ③y=-3x-2 ④xy=2 【设计意图及教法说明】 此题较简单，以口答的形式进行，设计的目的是重视基础知识的教学和面向全体学生的教学，并告诫学生判断一个函数是否是反比例函数不能单从形式上判断，一定要严谨认真，同时也完成了随堂练*1。 (2)做一做 ①一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别是xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么? ②某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么? ③y是x的反比例函数，下表给出了x和y的一些值： a.写出这个反比例函数的表达式; b.根据函数表达式完成下表。 表略。 【设计意图及教法说明】 通过三个实际问题的解决，培养了学生“发现问题”、“解决问题”的能力，也达到了学以致用的目的。幂函数教案2
幂函数教案3
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幂函数教案实用五份（扩展2）
幂函数教学反思1
幂函数教学反思2
幂函数教学反思3
幂函数教案实用五份（扩展3）
函数的性质教案 1
函数的性质教案 2
函数的性质教案 3
函数的性质教案 4
函数的性质教案 5
幂函数教案实用五份（扩展4）
幂函数教案实用五份（扩展5）
幂函数教案实用五份（扩展6）
幂函数教案实用五份（扩展7）
幂函数教案实用五份（扩展8）
幂函数教案实用五份（扩展9）
